Прямое произведение групп

Прямое произведение групп — операция, которая по группам $G$ и $H$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как $G\times H$. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают $G\oplus H$. Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

Если $G$ и $H$ — группы с операциями $*$ и $\mathrm{△}$ соответственно, то прямое произведение $G\times H$ определяется следующим образом:Шаблон:Ordered list

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции

Бинарная операция на $G\times H$ ассоциативна, что проверяется покомпонентно.

Существование единичного элемента

Прямое произведение имеет единичный элемент $1_{G\times H}=(1_G,1_H)$, где $1_G$ — единичный элемент $G$ и $1_H$ — единичный элемент $H$.

Существование обратного элемента

Обратный элемент к элементу $(g,h)$ в $G\times H$ — это пара $(g^{-1},h^{-1})$, где $g^{-1}$ является обратным к $g$ в $G$, а $h^{-1}$ — обратным к $h$ в $H$.

Примеры

• Пусть $ℝ$ — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение $ℝ\times ℝ$ — группа всех двухкомпонентных векторов $(x,y)$ с операцией сложения векторов:

  $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$.

• Пусть ${ℝ}^{\mathbb{+}}$ — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение ${ℝ}^{\mathbb{+}}\times {ℝ}^{\mathbb{+}}$ — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:

  $(x_1,y_1)\times (x_2,y_2)=(x_1\times x_2,y_1\times y_2)$.

• Пусть $G$ и $H$ — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:

$G$

*	1	a
1	1	a
a	a	1

$H$

*	1	b
1	1	b
b	b	1

Тогда прямое произведение $G\times H$ изоморфно четверной группе Клейна:

$G\times H$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Алгебраическая структура

Пусть $G$ и $H$ — группы, а $P=G\times H$. Рассмотрим следующие два подмножества $P$:

$G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\}$ и $H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\}$.

Оба эти подмножества являются подгруппами $P$, при этом $G^{\prime }$ канонически изоморфна $G$, а $H^{\prime }$ канонически изоморфна $H$. Если мы отождествим их с $G$ и $H$ соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение $P$ содержит исходные группы $G$ и $H$ в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

1. Пересечение $G\cap H$ тривиально.
2. Каждый элемент из $P$ можно однозначно представить как произведение элемента из $G$ и элемента из $H$.
3. Каждый элемент из $G$ коммутирует с каждым элементом из $H$.

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения $P$. Иными словами, если $P$ — любая группа, имеющая подгруппы $G$ и $H$, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то $P$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H$. В этой ситуации $P$ иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп $G$ и $H$.

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. $G$ и $H$ нормальны в $P$.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор $[g,h]$, где $g$ — любой элемент в $G$, а $h$ — любой элемент в $H$.

Копредставления прямого произведения

Алгебраическая структура $G\times H$ может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений $G$ и $H$. В частности, предположим, что

$G=⟨S_G\mid R_G⟩$ и $H=⟨S_H\mid R_H⟩,$

где $S_G$ и $S_H$ — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а $R_G$ и $R_H$ — множества соотношений между порождающими. Тогда

$G\times H=⟨S_G\cup S_H\mid R_G\cup R_H\cup R_P⟩$

где $R_P$ — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в $S_G$ коммутирует с каждым элементом в $S_H$.

Например, если

$G=⟨a\mid a^3=1⟩$ и $H=⟨b\mid b^5=1⟩$

то

$G\times H=⟨a,b\mid a^3=1,b^5=1,ab=ba⟩.$

Нормальная структура

Как было упомянуто выше, подгруппы $G$ и $H$ нормальны в $G\times H$. В частности, можно определить функции ${\pi }_G:G\times H\to G$ и ${\pi }_H:G\times H\to H$ формулами

${\pi }_G(g,h)=g$ и ${\pi }_H(g,h)=h$.

Тогда ${\pi }_G$ и ${\pi }_H$ являются гомоморфизмами проекции с ядрами $H$ и $G$ соответственно.

Из этого следует, что $G\times H$ — расширение $G$ при помощи $H$ (или наоборот). В случае, когда $G\times H$ — конечная группа, Шаблон:Iw группы $G\times H$ являются в точности объединением композиционных факторов группы $G$ и композиционных факторов группы $H$.

Дополнительные свойства

Универсальное свойство

Шаблон:Main Прямое произведение $G\times H$ может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть ${\pi }_G:G\times H\to G$ и ${\pi }_H:G\times H\to H$ — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы $P$ и любых гомоморфизмов $f_G:P\to G$ и $f_H:P\to H$ существует единственный гомоморфизм $f:P\to G\times H$, соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Иными словами, гомоморфизм $f$ задаётся формулой

$f(p)=(f_G(p),f_H(p))$.

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Подгруппы

Если $A$ — подгруппа $G$ и $B$ — подгруппа $H$, то прямое произведение $A\times B$ является подгруппой $G\times H$. Например, изоморфной копией $G$ в $G\times H$ является произведение $G\times \{1\}$, где $\{1\}$ — тривиальная подгруппа $H$.

Если $A$ и $B$ нормальны, то $A\times B$ — нормальная подгруппа в $G\times H$. Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

$(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)$.

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из $G\times H$ является произведением подгруппы из $G$ на подгруппу из $H$. Например, если $G$ — любая нетривиальная группа, то произведение $G\times G$ имеет Шаблон:Iw

$\mathrm{△}=\{(g,g):g\in G\}$

которая не является прямым произведением двух подгрупп $G$.

Подгруппы прямых произведений описываются Шаблон:Iw.

Сопряжённость и централизаторы

Два элемента $(g_1,h_1)$ и $(g_2,h_2)$ сопряжены в $G\times H$ тогда и только тогда, когда $g_1$ и $g_2$ сопряжены в $G$ и одновременно $h_1$ и $h_2$ сопряжены в $H$. Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в $G\times H$ является декартовым произведением класса сопряжённости в $G$ и класса сопряжённости в $H$.

Аналогично, если $(g,h)\in G\times H$, то централизатор $(g,h)$ является произведением централизаторов $g$ и $h$:

$C_{G\times H}(g,h)=C_G(g)\times C_H(h)$.

Также центр $G\times H$ является произведением центров $G$ и $H$:

$Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если $\alpha$ — автоморфизм $G$, а $\beta$ — автоморфизм $H$, то произведение функций $\alpha \times \beta :G\times H\to G\times H$, определяемое формулой

$(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))$

является автоморфизмом $G\times H$. Из этого следует, что $\mathrm{Aut}(G\times H)$ содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению $\mathrm{Aut}(G)\times \mathrm{Aut}(H)$.

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм $G\times H$ имеет вышеуказанный вид. Например, если $G$ — любая группа, то тогда существует автоморфизм $\sigma$ группы $G\times G$, который меняет местами два множителя, то есть

$\sigma (g_1,g_2)=(g_2,g_1)$.

Другой пример: группой автоморфизмов группы $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ является $GL(2,\mathbb{Z})$ — группа всех матриц размера $2\times 2$ с целочисленными значениями и определителем, равным $\pm 1$. Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как $\alpha \times \beta$.

В общем случае, каждый эндоморфизм $G\times H$ можно записать в виде матрицы размера $2\times 2$

$\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right]$

где $\alpha$ — эндоморфизм $G$, $\delta$ — эндоморфизм $H$, а $\beta :H\to G$ и $\gamma :G\to H$ — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа $\alpha$ коммутирует с каждым элементом образа $\beta$, а каждый элемент образа $\gamma$ коммутирует с каждым элементом образа $\delta$.

Когда $G$ и $H$ — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: $\mathrm{Aut}(G)\times \mathrm{Aut}(H)$, если $G$ и $H$ не изоморфны, и $\mathrm{Aut}(G)wr2$, если $G\cong H$, где $wr$ обозначает Шаблон:Iw. Это часть Шаблон:Iw, в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп $G_1,...,G_n$ прямое произведение

$\prod _{i=1}^n{G}_i=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$

определяется следующим образом:Шаблон:Unordered list

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп $G_1,G_2,...$ это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп $\{G_i{\}}_{i\in I}$ прямое произведение ${\mathrm{\Pi }}_{i\in I}{G}_i$ определяется следующим образом:Шаблон:Unordered list

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение ${\mathrm{\Pi }}_{i\in I}{G}_i$ не порождается элементами изоморфных подгрупп $\{G_i{\}}_{i\in I}$. Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

Полупрямые произведения

Шаблон:Main Напомним, что группа $P$ с подгруппами $G$ и $H$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H$, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Пересечение $G\cap H$ является тривиальной группой.
2. Каждый элемент из $P$ можно однозначно представить как произведение элемента из $G$ и элемента из $H$.
3. И $G$, и $H$ являются нормальными в $P$.

Полупрямое произведение $G$ и $H$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп $G$, $H$ должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар $(g,h)$, но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа $P$ называется Шаблон:Iw групп $G$ и $H$.

Свободные произведения

Шаблон:Main Свободное произведение групп $G$ и $H$, обычно обозначаемое как $G*H$, похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы $G$ и $H$ группы $G*H$ не обязаны коммутировать. А именно, если

$G=⟨S_G|R_G⟩$ и $H=⟨S_H|R_H⟩$,

являются копредставлениями $G$ и $H$, то

$G*H=⟨S_G\cup S_H|R_G\cup R_H⟩$.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

Шаблон:Main Если $G$ и $H$ — группы, то подпрямым произведением $G$ и $H$ является любая подгруппа $G\times H$, которая отображается сюръективно в $G$ и $H$ под действием гомоморфизмов проекции. Согласно Шаблон:Iw, каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

Шаблон:Main Пусть $G$, $H$ и $Q$ — группы, и пусть $\phi :G\to Q$ и $\chi :H\to Q$ — гомоморфизмы. Расслоённое произведение $G$ и $H$ над $Q$ представляет собой следующую подгруппу $G\times H$:

$G{\times }_{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\phi (g)=\chi (h)\}$.

Если $\phi :G\to Q$ и $\chi :H\to Q$ — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга