Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа $(G,+)$, для которой существует конечный набор $x_1,\dots ,x_s\in G$, такой что $\mathrm{\forall }x\in G$ существует представление:

$x=n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_s{x}_s$,

где $n_1,\dots ,n_s$ — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа $(\mathbb{Z},+)$ и числа по модулю $({\mathbb{Z}}_n,+)$, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификацииШаблон:Переход, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа $(\mathbb{Q},+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система $x_1,\dots ,x_s\in \mathbb{Q}$, то достаточно было бы взять натуральное число $w$, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить $1/w$, не порождаемое системой $\{x_1,\dots ,x_s\}$.

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа $G$ изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

${\mathbb{Z}}^n\oplus {\mathbb{Z}}_{m_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{m_t}$,

где $n⩾0$, и числа $m_1,\dots ,m_t$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n,m_1,\dots ,m_t$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой $G$, в частности, $G$ конечна тогда и только тогда, когда $n=0$.

На основании того факта что $G_m$ будет изоморфно произведению $G_j$ и $G_k$ тогда и только тогда, когда $j$ и $k$ взаимно просты и $m=jk$, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $G$ в форме прямой суммы

${\mathbb{Z}}^n\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_u}$,

где $k_1$ делит $k_2$, который делит $k_3$ и так далее до $k_u$. И снова, числа $n$ и $k_1,\dots ,k_u$ однозначно заданы группой $G$.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра