Семейство (математика)

Шаблон:Другое значение Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию $x$ вместе с её областью определения $I$ и областью значений $X$. Множество $I$ в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а $X$ — индексированным множествами семейства.

Определение

Пусть $I$ и $X$ — некоторые множества, а $x$ — сюръективная функция

$\begin{array}{cc}x:I& \to X\\ i& \mapsto x_i=x(i).\end{array}$

Такое описание задаёт семейство элементов $X$ индексированное множеством $I$, что также обозначается как $\{x_i{\}}_{i\in I}$ или просто $\{x_i\}$. Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

Примеры

Индексная нотация

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

• Векторы $v_1,\dots ,v_n$ линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов $\{v_i{\}}_{i\in \{1,\dots ,n\}}$. При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об $i$-м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

Матрицы

В следующем высказывании:

• Матрица $A$ невырождена если и только если её строки линейно независимы.

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right].$

Множество её строк состоит из единственного элемента $(1,1)$ и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примеры

Пусть через $𝐧$ обозначается конечное множество $\{1,2,\dots ,n\}$, где $n$ — положительное целое число.

• Упорядоченная пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством $\mathrm{𝟐}=\{1,2\}$.
• Кортеж — это семейство, индексированное множеством $𝐧$.
• Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
• Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением $𝐧\times 𝐦$.
• Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.

Операции над семействами

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если $\{a_i{\}}_{i\in I}$ — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

$\sum _{i\in I}{a}_i.$

Если $\{A_i{\}}_{i\in I}$ — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

$\bigcup _{i\in I}{A}_i.$

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорий

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории $C$, индексированное некоторой другой категорией $J$, который также индексирует морфизмы категории.

См. также

• Последовательность
• Дизъюнктное объединение
• Направленность

Литература

• Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).