Направленность (математика)

Шаблон:Значения Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Направленностью в топологическом пространстве $X$ называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества $\mathrm{A}$ в $X$. Обозначения: ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ или просто $\left\{x_{\alpha }\right\}$.

Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки $x$ топологического пространства рассматривается семейство $B_x$ всех её окрестностей. Отношение включения задает на $B_x$ структуру направленного множества: окрестности $U,V\in B_x$ упорядочены как $U⩾V$, если $U\subset V$. Каждой окрестности $U\in B_x$ сопоставляется ее произвольная точка $x_U\in U$, такое отображение $U\mapsto x_U$ является направленностью.

Связанные определения

Предел направленности

Направленность ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ называется сходящейся к точке $x$, если для любой окрестности $V$ точки $x$ существует индекс ${\alpha }_V\in \mathrm{A}$ такой, что $x_{\alpha }\in V$ для всякого $\alpha ⩾{\alpha }_V$. Точка $x$ называется пределом направленности $\left\{x_{\alpha }\right\}$ и обозначается $x_{\alpha }\underset{\mathrm{A}}{\overset{}{\to }}x$.

Множество всех пределов направленности $\left\{x_{\alpha }\right\}$ обозначается как $\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\lim }{x}_{\alpha }$. Если направленность имеет ровно один предел $x$, то пишут $x=\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\lim }{x}_{\alpha }$

Если топологическое пространство хаусдорфово, то каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел. Верно и обратное: если каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел, то пространство хаусдорфово.

Понятие предела направленности тесно связано с понятием точки прикосновения: точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Поднаправленность

Понятие подпоследовательности можно обобщить на направленности. Направленность ${\left\{y_{\beta }\right\}}_{\beta \in \mathrm{B}}$ называется поднаправленностью (более тонкой направленностью) направленности ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, если для любого $\alpha \in \mathrm{A}$ найдётся такой индекс $\beta (\alpha )\in \mathrm{B}$, что для всякого ${\beta }^{\prime }⩾\beta (\alpha )$ найдется ${\alpha }^{\prime }⩾\alpha$, удовлетворяющий равенству $x_{{\alpha }^{\prime }}=y_{{\beta }^{\prime }}$.

Каждая последовательность обладает поднаправленностью, которая сама последовательностью не является.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга