Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы $M$ с элементами из некоторого поля $K$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• $M$ обратима, то есть существует обратная матрицаШаблон:Sfn;
• строки (столбцы) матрицы $M$ линейно независимыШаблон:Sfn;
• ранг матрицы $M$ равен её размерностиШаблон:Sfn.

Совокупность всех невырожденных матриц порядка $n$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как $GL(n)$Шаблон:Sfn. Если требуется явно указать, какому полю $K$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут $GL(n,K)$Шаблон:Sfn. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка $n$ обозначается $GL(n,ℝ)$, а если комплексные числа, то $GL(n,ℂ)$.

Матрица порядка $n$ заведомо невырождена, если этоШаблон:Sfn:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $D(n,K)$);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $T(n,K)$);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу $UT(n,K)$).
• матрица $M$ является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы $A\in M_n(ℂ)$, то есть $M=e^A$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга