Дизъюнктное объединение

Дизъюнктное объединение множеств $A$ и $B$ — это другое множество $A\bigsqcup B$, которое состоит из всех элементов множеств $A$ и $B$, помеченных (проиндексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A, так и B, появляется дважды в несвязном объединении с двумя разными метками.

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из $a$ и $b$ элементов, будет содержать ровно $a+b$ элементов, даже если сами множества пересекаются.

Определение

Пусть $\{A_i|i\in I\}$ — семейство множеств, перечисленных индексами из $I$. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

$\underset{i\in I}{⨆}{A}_i=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_i\}$

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами $(x,i)$. Таким образом $i$ есть индекс, показывающий, из какого множества $A_i$ элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств $A_i$ канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

$A_i^{*}=\{(x,i)|x\in A_i\}.$

При $\mathrm{\forall }i,j\in I:i\ne j$ множества $A_i^{*}$ и $A_j^{*}$ не имеют общих элементов, даже если $A_i\cap A_j\ne \varnothing$. В вырожденном случае, когда множества $A_i\mathrm{\forall }i\in I$ равны какому-то конкретному $A$, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества $A$ и множества $I$, то есть

$\underset{i\in I}{⨆}{A}_i=A\times I.$

Использование

Иногда можно встретить обозначение $A+B$ для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

$\sum _{i\in I}{A}_i.$

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если $C$ — это семейство множеств, то

$\bigcup _{A\in C}A$

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых $A$ и $B$ из $C$ выполняется следующее условие:

$A\ne B⟹A\cap B=\varnothing .$

Вариации и обобщения

• Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.

См. также

• Теория множеств
• Теория категорий
• Декартово произведение
• Мощность множества

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга