Образ (математика)

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
f — это функция из области определения X в кодомен Y. Жёлтый овал внутри Y — это образ функции f.

Образ функции — это множество всех значений данной функции.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции f для каждого элемента заданного подмножества A области определения функции даёт множество, называемое «образом A для функции f». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества B кодомена функции f — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества B.

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Определение

Термин «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях f:X→Y — это функция из множества X в множество Y.

Образ элемента

Если x является элементом множества X, то образ элемента x для функции f, обозначаемый f(x)Шаблон:R, — это значение функции f для аргумента x.

Образ подмножества

Образ подмножества A⊆X для функции f, обозначаемый f[A], является подмножеством множества Y, которое может быть определено с помощью следующей формы записиШаблон:R:

f[A]={f(x)∣x∈A}.

Если нет риска путаницы, f[A] записывается просто как f(A). Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает f[.] функцией, областью определения которой является степень множества X (множество всех подмножеств множества X), а кодоменом является степень множества Y. См. раздел Шаблон:Section link.

Образ функции

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функцииШаблон:R.

Обобщение к бинарным отношениям

Если R является произвольным бинарным отношением на прямом произведении X×Y, то множество {y∈Y‖xRy,x∈X} называется образом отношения R. Множество {x∈X|xRy,y∈Y} называется областью определения отношения R.

Обратный образ

Пусть f будет функцией из X в Y. Прообраз, или обратный образ, множества B⊆Y для функции f, обозначаемый f−1[B], — это подмножество X, определённое как

f−1[B]={x∈X|f(x)∈B}.

Возможны и другие обозначения, как например f−1(B)Шаблон:R и f−(B).Шаблон:Sfn

Обратный образ синглетона, обозначаемый f−1[{y}] или f−1[y], называется также слоем для y или множеством уровня элемента y. Множество всех слоёв для элементов Y — это семейство подмножеств, индексированных элементами Y.

Например, для функции f(x)=x2 обратным образом {4} будет {−2,2}. Как было сказано выше, если нет риска путаницы, f−1[B] может обозначаться как f−1(B), а f−1 можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества Y в булеан множества X. Обозначение f−1 не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ B для f является образом B для f−1.

Обозначения для образа и обратного образа

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. АльтернативойШаблон:Sfn является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами.

Стрелочные обозначения

  • f→:𝒫(X)→𝒫(Y) для f→(A)={f(a)|a∈A}
  • f←:𝒫(Y)→𝒫(X) для f←(B)={a∈X|f(a)∈B}

Обозначения со звёздочками

  • f⋆:𝒫(X)→𝒫(Y) вместо f→
  • f⋆:𝒫(Y)→𝒫(X) вместо f←

Другая терминология

Примеры

  1. f:{1,2,3}→{a,b,c,d} определена как f(x)={a,x=1;a,x=2;c,x=3.Шаблон:Абзац Образом множества {2, 3} для функции f является f({2,3})={a,c}. Образ функции f — это {a,c}. Прообразом a является f−1({a})={1,2}. Прообразом множества {a,b} также является {1,2}. Прообразом множества {b,d} является пустое множество {}.
  2. f:𝐑→𝐑 определена как f(x)=x2.Шаблон:Абзац Образ {−2,3} для функции f — это f({−2,3})={4,9}, а образ функции f — это 𝐑+. Прообраз {4,9} для f — это f−1({4,9})={−3,−2,2,3}. Прообраз множества N={n∈𝐑‖n<0} для f — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
  3. f:𝐑2→𝐑 определена как f(x,y)=x2+y2.Шаблон:Абзац Слои f−1({a}) являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, единственной точкой начала координат или пустым множеством в зависимости от значений a (a>0, a=0 или a<0 соответственно).
  4. Если M — это многообразие, а π:TM→M — это каноническая проекция из касательного расслоения TM в M, то слоями отображения π являются касательные пространства Tx(M) для x∈M. Это также пример расслоённого пространства.
  5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Свойства

Шаблон:См. также

Контрпримеры

Контрпримеры на основе f:ℝ→ℝ,x↦x2,
показывающие, что это равенство обычно
не выполняется для некоторых законов
f(A1∩A2)⊊f(A1)∩f(A2)
f(f−1(B3))⊆B3
f−1(f(A4))⊇A4

Шаблон:Clear

Общий случай

Для любой функции f:X→Y и всех подмножеств A⊆X и B⊆Y выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз
f(X)⊆Y f−1(Y)=X
f(f−1(Y))=f(X) f−1(f(X))=X
f(f−1(B))⊆B
(равны, если B⊆f(X), т.е. f сюръектвна)Шаблон:SfnШаблон:Sfn 		f−1(f(A))⊇A
(равны, если f инъективна) Шаблон:SfnШаблон:Sfn
f(f−1(B))=B∩f(X) (f|A)−1(B)=A∩f−1(B)
f(f−1(f(A)))=f(A) f−1(f(f−1(B)))=f−1(B)
f(A)=∅⇔A=∅ f−1(B)=∅⇔B⊆Y∖f(X)
f(A)⊇B⇔∃C⊆A:f(C)=B f−1(B)⊇A⇔f(A)⊆B
f(A)⊇f(X∖A)⇔f(A)=f(X) f−1(B)⊇f−1(Y∖B)⇔f−1(B)=X
f(X∖A)⊇f(X)∖f(A) f−1(Y∖B)=X∖f−1(B)Шаблон:Sfn
f(A∪f−1(B))⊆f(A)∪BШаблон:Sfn f−1(f(A)∪B)⊇A∪f−1(B)Шаблон:Sfn
f(A∩f−1(B))=f(A)∩BШаблон:Sfn f−1(f(A)∩B)⊇A∩f−1(B)Шаблон:Sfn

Также:

  • f(A)∩B=∅⇔A∩f−1(B)=∅

Для нескольких функций

Для функций f:X→Y и g:Y→Z с подмножествами A⊆X и C⊆Z выполняются следующие свойства:

  • (g∘f)(A)=g(f(A))
  • (g∘f)−1(C)=f−1(g−1(C))

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции f:X→Y и подмножеств A1,A2⊆X и B1,B2⊆Y выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз
A1⊆A2⇒f(A1)⊆f(A2) B1⊆B2⇒f−1(B1)⊆f−1(B2)
f(A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)Шаблон:SfnШаблон:R f−1(B1∪B2)=f−1(B1)∪f−1(B2)
f(A1∩A2)⊆f(A1)∩f(A2)Шаблон:SfnШаблон:R
(равны, если f инъективнаШаблон:Sfn) 		f−1(B1∩B2)=f−1(B1)∩f−1(B2)
f(A1∖A2)⊇f(A1)∖f(A2)Шаблон:Sfn
(равны, если f инъективнаШаблон:Sfn) 		f−1(B1∖B2)=f−1(B1)∖f−1(B2)Шаблон:Sfn
f(A1△A2)⊇f(A1)△f(A2)
(равны , если f инъективна) 		f−1(B1△B2)=f−1(B1)△f−1(B2)

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

  • f(⋃s∈SAs)=⋃s∈Sf(As)
  • f(⋂s∈SAs)⊆⋂s∈Sf(As)
  • f−1(⋃s∈SBs)=⋃s∈Sf−1(Bs)
  • f−1(⋂s∈SBs)=⋂s∈Sf−1(Bs)

(Здесь S может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Шаблон:Rq

Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Образ_(математика)&oldid=2843