Касательное пространство

Касательное пространство $T_{x}M$ и касательный вектор $v\in T_{x}M$, вдоль кривой $\gamma (t)$, проходящей через точку $x\in M$

Касательное пространство к гладкому многообразию $M$ в точке $x$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $M$ в точке $x$ обычно обозначается $T_{x}M$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $T_x$.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке $p$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривых

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $p\in M$. Рассмотрим класс ${\mathrm{\Gamma }}_p$ гладких кривых $\gamma :𝕀\to M$ таких, что $\gamma (0)=p$. Введём на ${\mathrm{\Gamma }}_p$ отношение эквивалентности: ${\gamma }_1\sim {\gamma }_2$ если

$|{\gamma }_1(t)-{\gamma }_2(t)|=o(t),t\to 0$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

Элементы касательного пространства $T_p$ определяются как $\sim$-классы эквивалентности ${\mathrm{\Gamma }}_p$; то есть

$T_p={\mathrm{\Gamma }}_p/\sim$.

В карте такой, что $p$ соответствует началу координат, кривые из ${\mathrm{\Gamma }}_p$ можно складывать и умножать на число следующим образом

$({\gamma }_1+{\gamma }_2)(t)={\gamma }_1(t)+{\gamma }_2(t)$

$(k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)$

При этом результат остаётся в ${\mathrm{\Gamma }}_p$.

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности $T_p={\mathrm{\Gamma }}_p/\sim$. Более того, индуцированные на $T_p$ операции уже не зависят от выбора карты. Так на $T_p$ определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть $M$ — $C^{\mathrm{\infty }}$-гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов $X,$ сопоставляющих каждой гладкой функции $f:M\to ℝ$ число $Xf,$ и удовлетворяющих следующим двум условиям:

• $ℝ$-линейность: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\lambda ,\mu \in ℝ,f,h\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),f,h\in C^{\mathrm{\infty }}(M).$

На множестве всех дифференцирований в точке $p$ возникает естественная структура линейного пространства:

• $(X+Y)f=Xf+Yf;$

  $(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Замечания

• В случае $C^k$-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство

  $Xf=0$ если $f(q)=o(|p-q|)$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть $\gamma \in {\mathrm{\Gamma }}_p$. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для $Xf=(f\circ \gamma {)}^{\prime }(0)$. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства

• Касательное пространство $n$-мерного гладкого многообразия является $n$-мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты $x_1,\dots ,x_n$, операторы $X_i$ дифференцирования по $x_i$:

  $X_{i}f=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

представляют собой базис $T_p$, называемый голономным базисом.

Связанные определения

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для $C^k$-дифференцируемых многообразий, $k<\mathrm{\infty }$). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть $M$ — $C^k$-дифференцируемое многообразие, $C^k(M)$ — кольцо дифференцируемых функций из $M$ в $ℝ$. Рассмотрим кольцо $C_x^k$ ростков функций в точке $x\in M$ и каноническую проекцию $[-{]}_x:C^k(M)\to C_x^k$. Обозначим через ${𝔪}_x$ ядро гомоморфизма колец $[f{]}_x\mapsto f(x)$. Введем на $C_x^k$ структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма $i:ℝ\to C_x^k$, $i(a)=[{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}_a{]}_x$ и будем далее отождествлять $ℝ$ и $i(ℝ)$. Имеет место равенство $C_x^k=ℝ\oplus {𝔪}_x$. Обозначим через $C_{x,0}^k$ подалгебру $C_x^k$, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке $x$ в каждой карте; обозначим $C_{x,d}^k=ℝ\oplus {𝔪}_x^2$. Заметим, что $C_{x,d}^k\subset C_{x,0}^k$.

Рассмотрим два векторных пространства:

• $T_{x}M:=(C_x^k/C_{x,0}^k{)}^{*}$ — это пространство имеет размерность $\dim M$ и совпадает с определённым ранее касательным пространством к $M$ в точке $x$,
• $(C_x^k/C_{x,d}^k{)}^{*}\cong ({𝔪}_x/{𝔪}_x^2{)}^{*}$ — это пространство изоморфно пространству дифференцирований $C_x^k=ℝ\oplus {𝔪}_x$ со значениями в $ℝ\subset C_x^k$, его называют алгебраическим касательным пространством $M$ в точке $x$.

Если $k<\mathrm{\infty }$, то ${𝔪}_x/{𝔪}_x^2$ имеет размерность континуум, а $({𝔪}_x/{𝔪}_x^2{)}^{*}$ содержит $T_{x}M$ как нетривиальное подпространство; в случае $k=\mathrm{\infty }$ или $k=\omega$ эти пространства совпадают (и $C_{x,0}^k=C_{x,d}^k$). В обоих случаях $T_{x}M$ можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований $C_x^k$ со значениями в $ℝ$, для вектора $X\in T_{x}M$ формула $X(f)=X([f{]}_x)$ задаёт инъективный гомоморфизм $T_{x}M$ в пространство дифференцирований $C^k(M)$ со значениями в $ℝ$ (структура вещественной алгебры на $C^k(M)$ задается аналогично $C_x^k$). При этом в случае $k=\mathrm{\infty }$ получается в точности определение, данное выше.

См. также

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение