Касательный вектор

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой

• Пусть функция $f:U(x_0)\subset ℝ\to ℝ$ определена в некоторой окрестности точки $x_0\in ℝ$ и дифференцируема в ней: $f\in 𝒟(x_0)$.

Касательным вектором к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется вектор с компонентами

• $\overrightarrow{e}=\frac{1}{\sqrt{1+f^{\prime }(x_0{)}^2}}\cdot {\overrightarrow{e}}_x+\frac{f^{\prime }(x_0)}{\sqrt{1+f^{\prime }(x_0{)}^2}}\cdot {\overrightarrow{e}}_y$.

• Если функция $f$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную $f^{\prime }(x_0)=\pm \mathrm{\infty },$ то касательный вектор

  $\overrightarrow{e}={\overrightarrow{e}}_y$.

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется оператор $X$, сопоставляющий каждой гладкой функции $f:M\to ℝ$ число $Xf$ и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Множество всех таких операторов в точке $p$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\mathrm{\forall }k\in ℝ$.

Совокупность всех касательных векторов в точке $p$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке $p$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь $𝐟:[0,1]\to {ℝ}^n$:

$𝐟(t)=f_1(t){𝐞}_1+f_2(t){𝐞}_2+\dots +f_n(t){𝐞}_n$.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь $𝐥(t)$, который его касается в момент времени t₀:

$𝐥(t)=𝐟(t_0)+(t-t_0)(\frac{\partial f_1}{\partial t}(t_0){𝐞}_1+\frac{\partial f_2}{\partial t}(t_0){𝐞}_2+\dots +\frac{\partial f_n}{\partial t}(t_0){𝐞}_n)$.

Касание двух путей ${𝐟}_1(t)$ и ${𝐟}_2(t)$ означает, что ${𝐟}_1(t)-{𝐟}_2(t)=o(t-t_0)$; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке $p$ гладкого подмногообразия $M$ евклидова пространства — вектор скорости в точке $p$ некоторой кривой в $M$.

Иначе говоря, касательный вектор в точке $p$ подмногообразия, локально заданного параметрически

$r:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ с $p=r(0)$,

есть произвольная линейная комбинация частных производных $\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)$.

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости $C^1$.
• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в ${ℝ}^{2n}$. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга