Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение

• Пусть функция $f:U(x_0)\subset ℝ\to ℝ$ определена в некоторой окрестности точки $x_0\in ℝ$, и дифференцируема в ней: $f\in 𝒟(x_0)$. Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется график линейной функции, задаваемый уравнением

  $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),x\in ℝ$.

• Если функция $f$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную $f^{\prime }(x_0)=\pm \mathrm{\infty },$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  $x=x_0.$

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x_0,f(x_0))$. Угол $\alpha$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\mathrm{tg}\alpha =f^{\prime }(x_0)=k,$

где $\mathrm{tg}$ обозначает тангенс, а $\mathrm{k}$ — коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f:U(x_0)\to ℝ$ и $x_1\in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x_0,f(x_0))$ и $(x_1,f(x_1))$ задаётся уравнением

$y=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x_0,f(x_0))$ для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона $\alpha (x_1)$ удовлетворяет уравнению

$\mathrm{tg}\alpha (x_1)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x_0,$ переходя к пределу при $x_1\to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x_1\to x_0}\mathrm{tg}\alpha (x_1)=f^{\prime }(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha =\mathrm{arctg}{f}^{\prime }(x_0).$

Прямая, проходящая через точку $(x_0,f(x_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\mathrm{tg}\alpha =f^{\prime }(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от Шаблон:Lang-la — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная $f{\text{'}}_{+}(x_0)<\mathrm{\infty },$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$y=f(x_0)+f{\text{'}}_{+}(x_0)(x-x_0),x⩾x_0.$

• Если существует левая производная $f{\text{'}}_{-}(x_0)<\mathrm{\infty },$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$y=f(x_0)+f{\text{'}}_{-}(x_0)(x-x_0),x⩽x_0.$

• Если существует бесконечная правая производная $f{\text{'}}_{+}(x_0)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty }),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$x=x_0,y⩾f(x_0)(y⩽f(x_0)).$

• Если существует бесконечная левая производная $f{\text{'}}_{-}(x_0)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty }),$ то левой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$x=x_0,y⩽f(x_0)(y⩾f(x_0)).$

См. также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ