Отношение эквивалентности

Шаблон:Другие значения Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности ($\sim$) на множестве $X$ — это бинарное отношение, для которого при любых $a,b,c$ из $X$ выполнены следующие условия:

1. рефлексивность: $a\sim a$;
2. симметричность: если $a\sim b$, то $b\sim a$;
3. транзитивность: если $a\sim b$ и $b\sim c$, то $a\sim c$.

Запись вида «$a\sim b$» читается как «$a$ эквивалентно $b$».

Связанные определения

Классом эквивалентности $[a]\subset X$ элемента $a\in X$ называется подмножество элементов, эквивалентных $a$; то есть,

$[a]=\{x\in X\mid x\sim a\}$.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если $b\in [a]$, то $[a]=[b]$.

Шаблон:ЯкорьФактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества $X$ по заданному отношению $\sim$, обозначается $X/\sim$.

Для класса эквивалентности элемента $a$ используются следующие обозначения: $[a]$, $a/\sim$, $\bar{a}$.

Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества.

Примеры

• Равенство («$=$»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («$\cong$»).
  • Отношение подобия («$\sim$»).
  • Отношение параллельности прямых («$\Vert$») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция $f(x)$ эквивалентна функции $g(x)$ при $x\to x_0$, если она допускает представление вида $f(x)=\alpha (x)g(x)$, где $\alpha (x)\to 1$ при $x\to x_0$. В этом случае пишут $f(x)\sim g(x)$, напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при $x\to x_0$. Если $g(x)\ne 0$ при $x\ne x_0$, эквивалентность функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x\to x_0$, очевидно, равносильна соотношению $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.

• Эквивалентность норм на векторном пространстве.
• Отношение равномощности множеств.
• Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
• Эквивалентность категорий.
• Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
• Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim$, обозначается символом $X/\sim$ и называется фактормножеством относительно $\sim$. При этом сюръективное отображение

$p:x\mapsto [x]$

называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$ на фактормножество $X/\sim$.

Пусть $X$ и $Y$ — множества, $f:X\to Y$ — отображение, тогда бинарное отношение $x\sim y$, определённое правилом

$x\sim y⟺f(x)=f(y),x,y\in X$,

является отношением эквивалентности на $X$. При этом отображение $f$ индуцирует отображение $\bar{f}:X/\sim \to Y$, определяемое правилом

$\bar{f}([x])=f(x)$

или, что то же самое,

$(\bar{f}\circ p)(x)=f(x)$.

При этом получается факторизация отображения $f$ на сюръективное отображение $p$ и инъективное отображение $\bar{f}$.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства.

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. Шаблон:М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, Шаблон:М.: Наука, 1970, 23—30.
• Шаблон:Книга