Эквивалентность категорий

Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

Определение

Для двух категорий Шаблон:Math и Шаблон:Math задана их эквивалентность, если задан функтор Шаблон:Math, функтор Шаблон:Math, и два естественных изоморфизма Шаблон:Math и Шаблон:Math. Здесь Шаблон:Math и Шаблон:Math — тождественные функторы на Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно. Если Шаблон:Math и Шаблон:Math — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировки

Можно показать, что функтор Шаблон:Math задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

• вполне унивалентен и
• плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента Шаблон:Math категории Шаблон:Math существует объект, имеющий прообраз в Шаблон:Math под действием Шаблон:Math.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор Шаблон:Math с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: Шаблон:Math и Шаблон:Math задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

Примеры

• Между категорией $C$ из одного объекта $c$ и одного морфизма $1_c$ и категорией $D$ из двух объектов $d_1$, $d_2$ и четырёх морфизмов: двух тождественных $1_{d_1}$, $1_{d_2}$ и двух изоморфизма $\alpha :d_1\to d_2$, $\beta :d_2\to d_1$ можно установить эквивалентность, например взять $F$, отправляющий $c$ в $d_1$ и $G$, отправляющий всё $D$ в $c$. Однако, например, категория $C$ не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
• Пусть категория $C$ состоит из одного объекта $c$ и двух морфизмов $1_c,f:c\to c$, где $f\circ f=1$. Тогда $f$ задаёт естественный изоморфизм ${𝐈}_C$ с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
• Эквивалентны категория $C$ конечномерных действительных векторных пространств и категория $D=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(ℝ)$ (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор $F:C\to D$ сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
• Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

Свойства

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если Шаблон:Math — эквивалентность категорий и Шаблон:Math, Шаблон:Math «обратные» к Шаблон:Math, то Шаблон:Math и Шаблон:Math естественно изоморфны.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика