Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение

Идеал $I$ в кольце $A$ называется простым, если факторкольцо $A/I$ по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если $I\ne A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$, то $I$ являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале) является простым.

• Идеал $I$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$, не пересекающийся с мультипликативной системой $S_0$. Тогда существует простой идеал $I_0$, содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_0$.Шаблон:Нет АИ
• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$, совпадает с радикалом идеала $I$. Радикал идеала $I$ — это множество $\sqrt{I}=\{f\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^n\in I\}$. Оно также является идеалом кольца $A$.

Примеры

• В кольце целых чисел $A=\mathbb{Z}$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной $A=ℝ[x]$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — неприводимый над $ℝ$ многочлен.
• В кольце многочленов $A=\mathbb{Q}[x,y]$ множество $I=xA+yA$ является простым идеалом.

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом $I$ (не обязательно коммутативного) кольца $A$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\mathrm{\forall }r\in Aarb\in I$, то или $a\in I$, или $b\in I$.

Литература

• Шаблон:Книга