Теорема отделимости

Теорема отделимости — теорема о топологических свойствах метрического пространства.

Формулировка

Каждое метрическое пространство $X$ нормально, то есть для любых двух замкнутых в $X$ непересекающихся множеств $F_1$ и $F_2$, найдутся два открытых множества $G_1$ и $G_2$, такие, что $F_1\subset G_1,F_2\subset G_2,G_1\cap G_2=\varnothing$.

Доказательство

Возьмем произвольную точку $x\in F_1$ и назовем расстоянием от этой точки до множества $F_2$ число $\rho (x,F_2)=\underset{x_2\in F_2}{\inf }\rho (x,x_2)$. Такое число существует, так как все числа $\rho (x,x_2)⩾0$, то есть их множество ограничено снизу. Покажем, что в нашем случае $\rho (x,F_2)\ne 0$. Допустим противное, то есть что $\rho (x,F_2)=0$. Это значит, что в множестве $F_2$ найдется такая последовательность точек $𝒻x_{(n)}^2ℊ$, что $\rho (x,x_{(n)}^2)\to 0$. Но тогда $x=\underset{n}{\lim }{x}_{(n)}^2$, то есть $x$ есть предельная точка множества $F_2$ и, следовательно, в силу замкнутости $F_2$ будем иметь $x\in F_2$, что невозможно, ибо $F_1.F_2=\varnothing$. Итак, $\rho (x,F_2)={\rho }_x^{(2)}>0$. Аналогично $\rho (y,F_1)={\rho }_y^{(1)}>0$ для произвольной точки $y\in F_2$. Рассмотрим множества $G_1=\bigcup _{x\in F_1}S(x,\frac{{\rho }_x^{(2)}}{3})$ и $G_2=\bigcup _{y\in F_2}S(y,\frac{{\rho }_y^{(1)}}{3})$. Оба эти множества - открытые, как суммы открытых шаров, и очевидно, что $F_1\subset G_1,F_2\subset G_2$. Остается доказать, что $G_1\cap G_2=\varnothing$. Предположим противное: пусть $z$ - точка из пересечения $G_1\cap G_2$. Так как $z\in G_1$, то $z\in S(x_0,\frac{{\rho }_{x_0}^{(2)}}{3})$ для некоторого $x_0$, а так как $z\in G_2$, то $z\in S(y_0,\frac{{\rho }_{y_0}^{(1)}}{3})$ для некоторого $y_0$. Пусть наибольшим из чисел ${\rho }_{x_0}^{(2)}$ и ${\rho }_{y_0}^{(1)}$ будет, например ${\rho }_{y_0}^{(1)}$. Тогда ${\rho }_{y_0}^{(1)}=\underset{x\in F_1}{\inf }\rho (y_0,x)⩽\rho (x_0,y_0)⩽\rho (x_0,z)+\rho (z,y_0)<\frac{{\rho }_{x_0}^{(2)}}{3}+\frac{{\rho }_{y_0}^{(1)}}{3}⩽\frac{2{\rho }_{y_0}^{(1)}}{3}<{\rho }_{y_0}^{(1)}$, и мы пришли к абсурду. Поэтому $G_1\cap G_2=\varnothing$, и теорема полностью доказана.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 44.