Нормальное пространство

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Свойства

• Нормальные пространства образуют частный случай вполне регулярных или тихоновских пространств. Это следует из леммы Урысона: в нормальном пространстве любые два непересекающиеся замкнутые множества функционально отделимы.
• Теорема Титце о продолжении. Каждая непрерывная вещественная функция, заданная на замкнутом подмножестве нормального пространства, непрерывно продолжается на всё пространство.
• Всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
• Пространства, все подпространства которых нормальны, называются наследственно нормальными или вполне нормальными.
  • Для наследственной нормальности достаточно, чтобы все его открытые подпространства были нормальны.
  • Для наследственной нормальности пространства необходимо и достаточно, чтобы были отделимы окрестностями всякие два множества, из которых ни одно не содержит точек соприкосновения другого.
• Нормальное пространство называется совершенно нормальным, если в нём каждое замкнутое множество является пересечением счётного числа открытых множеств.
  • Всякое совершенно нормальное пространство есть наследственно нормальное пространство.
  • Всякое метрическое пространство совершенно нормально.
• Нормальное пространство, в котором для любого дискретного семейства замкнутых множеств ${\{F_s\}}_{s\in S}$ существует дискретное семейство открытых множеств ${\{U_s\}}_{s\in S}$, такое, что $F_s\subset U_s$ для каждого $s\in S$, называется коллективно нормальным.
  • Все паракомпактные хаусдорфовы пространства (в частности, метрические пространства) коллективно нормальны.
• Произведение двух нормальных пространств не обязано быть нормальным, и даже произведение нормального пространства на отрезок может не быть нормальным.

Литература

• Шаблон:Книга