Первичный идеал (алгебра)

Шаблон:К объединениюВ теории колец, одном из основных разделов общей алгебры, первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца. Понятие простого идеала является частным случаем этого понятия.

Определение

Первичным идеалом полугруппы или кольца $A$ называется всякий идеал $P$ (не совпадающий с A), такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\mathrm{\forall }r\in Aarb\in P$, то либо $a\in P$, либо $b\in P$.

Свойства

Следующие условия эквивалентны первичности идеала Шаблон:Math кольца Шаблон:Math:

• Для любых Шаблон:Math, если Шаблон:Math, то Шаблон:Math или Шаблон:Math.
• Для любых правых идеалов Шаблон:Math кольца Шаблон:Mvar, если Шаблон:Math, то Шаблон:Math или Шаблон:Math.
• Для любых левых идеалов Шаблон:Math кольца Шаблон:Mvar, если Шаблон:Math, то Шаблон:Math или Шаблон:Math.
• Для любых Шаблон:Math, если Шаблон:Math, то Шаблон:Math или Шаблон:Math.

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.

См. также

• Простой идеал
• Примарный идеал

Литература

• Шаблон:Книга