Дифференцирование (алгебра)

Шаблон:Значения Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй соответственно.

Определение

Пусть $A$ — алгебра над кольцом $R$. Дифференцирование алгебры $A$ — это $R$-линейное отображение $\partial :A\to A$, удовлетворяющее тождеству Лейбница:

$\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$

В более общем случае дифференцирование коммутативной $A$ со значениями в $A$-модуле $M$ — это $R$-линейное отображение $\partial :A\to M$, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае $M$ называют дифференциальным модулем над $A$ Множество всех дифференцирований со значениями в $M$ обозначается $\mathrm{D}(M)$ ($\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(M)$, ${\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}}_R(A,M)$) и является $A$-модулем. Функтор $\mathrm{D}$ является представимым, его представляющий объект обозначается ${\mathrm{\Lambda }}^1(A)$ или ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}^1$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов. ${\mathrm{\Lambda }}^1(A)$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над $A$, то есть существует такое дифференцирование $d:A\to {\mathrm{\Lambda }}^1(A)$, что любое дифференцирование $\delta \in \mathrm{D}(M)$ пропускается через $d$:

$\mathrm{\exists }!f:{\mathrm{\Lambda }}^1(A)\to M:\delta =f\circ d$

Свойства

$\mathrm{D}(A)$ имеет естественную структуру алгебры Ли: ${\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2\in \mathrm{D}(A)⟹[{\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2]={\mathrm{D}}_1\circ {\mathrm{D}}_2-{\mathrm{D}}_2\circ {\mathrm{D}}_1\in \mathrm{D}(A)$.

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если $A$ — алгебра с единицей, то для любого $A$-модуля $M$ выполнено:

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_1(M)=\mathrm{D}(M)\oplus M$,

где ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_1(M)$ — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из $A$ в $M$.

${\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}}_R(A,M)$ является функтором из $(ℛin{g}^{op})\times (R-𝒜l{g}^{op})\times (A-ℳod)$ в $A-ℳod$.

Градуированное дифференцирование

Для $\mathbb{Z}$-градуированной алгебры $A$ с градуировкой элемента $a\in A$, обозначаемой $|a|$, аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями $\mathrm{D}:A\to A$ степени $|\mathrm{D}|$, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница ($\epsilon =\pm$):

$\mathrm{D}(ab)=(\mathrm{D}a)b+{\epsilon }^{|a||\mathrm{D}|}a(\mathrm{D}b)$

Если $\epsilon =1$, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если $\epsilon =-1$, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

$[{\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2]={\mathrm{D}}_1\circ {\mathrm{D}}_2-(-1{)}^{|{\mathrm{D}}_1||{\mathrm{D}}_2|}{\mathrm{D}}_2\circ {\mathrm{D}}_1$.

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.