Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной $C(t)$, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по $t$. Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Шаблон:Нп5.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

$\partial :R\to R$

удовлетворяющими правилу произведения

$\partial (r_1{r}_2)=(\partial r_1)r_2+r_1(\partial r_2)$

для любых $r_1,r_2\in R$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило $d(xy)=xdy+ydx$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если $M:R\times R\to R$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\otimes \partial ).$

где $f\otimes g$ — отображение пары $(x,y)$ в пару $(f(x),g(y))$.

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

$\partial (uv)=u\partial v+v\partial u$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$

Полем констант дифференциального поля $K$ называется $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых $k\in K$ и $x\in A$:

$\partial (kx)=k\partial x$

В безындексной форме записи, если $\eta :K\to A$ — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

$\partial \circ M\circ (\eta \times \mathrm{Id})=M\circ (\eta \times \partial )$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых $a,b\in K$ и $x,y\in A$:

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$

и

$\partial (ax+by)=a\partial x+b\partial y$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли $L$ — это линейное отображение $\delta :L\to L$, удовлетворяющее правилу Лейбница:

$\delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]$

Для любого $a\in L$ оператор $\mathrm{ad}(a)$ — дифференцирование на $L$, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если $A$ — алгебра с единицей, то $\partial (1)=0$, так как $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле $\mathbb{Q}(t)$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством $\partial (t)=1$: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по $t$. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

$\partial (u^2)=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)$

В дифференциальном поле $\mathbb{Q}(t)$ нет решения дифференциального уравнения $\partial (u)=u$, но можно расширить его до поля, содержащего функцию $e^t$, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

$R(({\xi }^{-1}))=\{\sum _{n<\mathrm{\infty }}{r}_n{\xi }^n|r_n\in R\}.$

Умножение в этом кольце определяется как

$(r{\xi }^m)(s{\xi }^n)=\sum _{k=0}^{m}r({\partial }^{k}s)(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}){\xi }^{m+n-k}.$

Здесь $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

${\xi }^{-1}r=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n({\partial }^{n}r){\xi }^{-1-n}$

следующее из

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{n})=(-1{)}^n$

и

$r{\xi }^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\xi }^{-1-n}({\partial }^{n}r).$

Градуированное дифференцирование

Пусть $A$ — градуированная алгебра, $D$ — однородное линейное отображение, $d=\left|D\right|$. $D$ называется однородной производной, если $D(ab)=D(a)b+{ϵ}^{|a||D|}aD(b)$, $ϵ=\pm 1$ при действии на однородные элементы $A$. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым $ϵ$.

Если $ϵ=1$, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если $ϵ=-1$, то $D(ab)=D(a)b+(-1{)}^{|a|}aD(b)$, для нечётных $\left|D\right|$. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть ${\mathbb{Z}}_2$-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.