Производная Ли

Производная Ли тензорного поля $Q$ по направлению векторного поля $X$ — главная линейная часть приращения тензорного поля $Q$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем $X$.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается ${ℒ}_{X}Q$.

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

• Производная Ли ${ℒ}_{X}f$ от скалярного поля $f$ есть производная $f$ по направлению $X$.

  ${ℒ}_{X}f=Xf.$

• Производная Ли ${ℒ}_{X}Y$ от векторного поля $Y$ есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля $Y$ по направлению поля $X$).

  ${ℒ}_{X}Y=[X,Y].$

• Для произвольных векторных полей и 1-формы $\alpha$ выполняется равенство (тождество Картана)

  $({ℒ}_X\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$

• (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется

  ${ℒ}_X(S\otimes T)=({ℒ}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({ℒ}_{X}T).$

• ${ℒ}_X(S+T)={ℒ}_{X}S+{ℒ}_{X}T$ (линейность)

Через поток

Пусть $M$ — $n$-мерное гладкое многообразие и $X$ — векторное поле на $M$.

Рассмотрим поток ${\mathrm{\Gamma }}_X^t:M\to M$ по $X$, определяемый соотношениями

$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)=X_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)},{\mathrm{\Gamma }}_X^0(p)=p$.

Обратное отображение к дифференциалу ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$,

$(d_p{\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}:T_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)}\to T_p$

однозначно продолжается до гомоморфизма $h_t$ алгебры тензоров над $T_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)}$ в алгебру тензоров над $T_p$. Таким образом, произвольное тензорное поле $Q$ определяет однопараметрическое семейство полей $Q_t=h_t(Q)$. Производная Ли может быть определена как

${ℒ}_{X}Q=\frac{d}{dt}{Q}_t{|}_{t=0}$

Выражения в координатах

${ℒ}_{\xi }f={\xi }^k{\partial }_{k}f,$

где $f$ — скаляр.

${ℒ}_{\xi }y={\xi }^k{\partial }_k{y}^i-y^k{\partial }_k{\xi }^i,$

где $y$ — вектор, а $y^i$ — его компоненты.

${ℒ}_{\xi }\omega ={\xi }^k{\partial }_k{\omega }_i+{\omega }_k{\partial }_i{\xi }^k,$

где $\omega$ — 1-форма, а ${\omega }_i$ — её компоненты.

${ℒ}_{\xi }g={\xi }^k{\partial }_k{g}_{ij}+{\partial }_i{\xi }^k{g}_{kj}+{\partial }_j{\xi }^k{g}_{ik},$

где $g$ — метрический тензор, а $g_{ij}$ — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере $\{e_{\alpha }\}$, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

$({ℒ}_{X}K{)}_{(\beta )}^{(\alpha )}=X{K}_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}{P}_{*}^{*}\}$,

где $(\alpha )=({\alpha }_1...{\alpha }_p),(\beta )=({\beta }_1...{\beta }_q)$ и введены следующие обозначения:

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}{P}_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^p{K}_{(\beta )}^{{\alpha }_1...\sigma ...{\alpha }_p}{P}_{\sigma }^{{\alpha }_s}-\sum _{s=1}^q{K}_{{\beta }_1...\sigma ...{\beta }_q}^{(\alpha )}{P}_{{\beta }_s}^{\sigma }$,

$P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }{\xi }^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }{\xi }^{\sigma }$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }{e}_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ — объект неголономности.

Свойства

• ${ℒ}_X(s)$ $ℝ$-линейно по $X$ и по $s$. Здесь $s$ — произвольное тензорное поле.
• Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
• На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
• Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на многообразии, тогда $[{ℒ}_v,{ℒ}_u]={ℒ}_v{ℒ}_u-{ℒ}_u{ℒ}_v$ есть дифференцирование алгебры $C^{\mathrm{\infty }}(M)$, поэтому существует векторное поле $[v,u]$, для которого ${ℒ}_{[v,u]}=[{ℒ}_v,{ℒ}_u]$. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
• Формула гомотопии (тождество Картана):

  ${ℒ}_v\omega =i_{v}d\omega +d{i}_v\omega .$

Здесь $\omega$ — дифференциальная $k$-форма, $i_v$ — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как $(i_v\omega )(X_1,\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_1,\dots ,X_{k-1})$.

• Как следствие, ${ℒ}_{X}d\omega =d{ℒ}_X\omega ,\omega \in {\mathrm{\Lambda }}^{*}(M)$
• ${ℒ}_X(s)={vpr}_F(Ts\circ X-X^F\circ s)$. Здесь $s$ — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения $F$ (например, любое тензорное поле), $X^F$ — поднятие векторного поля $X$ на $F$, ${vpr}_F$ — оператор вертикального проектирования на $F$. (См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле $V(x,t)$ есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства $x$ в каждый момент времени $t$ определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля $V(x,t)$ переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей $Q(x,t)$ из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть $F$ — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: $F:M\mapsto (F(M),M,{\pi }_M),{\pi }_M:F(M)\to M$. Произвольное векторное поле $X\in TM$ порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов ${\mathrm{\Gamma }}^t:M\to M$, продолжающуюся с помощью $F$ на пространство расслоения $F(M)$, то есть $F({\mathrm{\Gamma }}^t):F(M)\to F(M)$. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле $X^F\in TF(M)$, являющееся продолжением $X$. Группа $F({\mathrm{\Gamma }}^t)$ также позволяет определить производную Ли по $X$ от произвольных сечений $s:M\to F(M)$ по такой же формуле, как и в классическом случае:

${ℒ}_X(s)={\frac{d}{dt}|}_{t=0}F({\mathrm{\Gamma }}^t{)}^{*}s={\frac{d}{dt}|}_{t=0}(F({\mathrm{\Gamma }}^{-t})\circ s\circ {\mathrm{\Gamma }}^t)$

${ℒ}_X(s)=Ts\circ X-X^F\circ s$

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения $VF(M)$, то есть ядра отображения $T{\pi }_M:TF(M)\to TM$, так как $T{\pi }_M\circ {ℒ}_X(s)=0_M$. Если $F$ — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм $vl:F(M){\times }_{M}F(M)\simeq VF(M)$. Оператор вертикального проектирования $vp{r}_F={\mathrm{p}\mathrm{r}}_2\circ v{l}^{-1}$ позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

${ℒ}_X(s)={vpr}_F(Ts\circ X-X^F\circ s)$

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид $i_K$, где $K\in TM\otimes {\mathrm{\Lambda }}^{*}(M)$ — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования $i_K$ определяется по формуле $(\omega \in {\mathrm{\Lambda }}^{p+1}(M))$

$i_K\omega =\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(\omega \circ (K\otimes i{d}^{\otimes p}))$

Здесь $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}$ — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме $K$ определяется через суперкоммутатор операторов:

${ℒ}_K=[i_K,d]$

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование $D$ супералгебры ${\mathrm{\Lambda }}^{*}(M)$ однозначно представимо в виде $D={ℒ}_K+i_S$, где $K$, $S$ — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле $[{ℒ}_K,{ℒ}_S]={ℒ}_{[K,S]}$ можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

См. также

• Поле Киллинга