Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии $M$ называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

$\omega :M\to \left({\wedge }^k{T}^{*}M\right){\otimes }_{M}TM$

$\pi \circ \omega =ıd$

Операции

• Внутреннее дифференцирование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля $T$ по векторному полю $X$ определяется стандартным образом:

$L_{X}T=\frac{d}{dt}{g}^{t}T$

где $g^t$ — фазовый поток, соответствующий векторному полю $X$. Эта операция связана с внутренним умножением ${ı}_X$ дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

$L_X={ı}_{X}d+d{ı}_X$

то есть

$L_X=[{ı}_X,d]$

где $[\cdot ,\cdot ]$ — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы $K$ производная Ли определяется по аналогии:

$L_K=[{ı}_K,d]$

Свойства

• $[L_K,d]=0$

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса $[\cdot ,\cdot ]$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]$, для которой

$[L_K,L_F]=L([K,F])$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру $I$ как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как $[I,I]$. Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры $A$ можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры $A$, посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения $\mu :A\otimes A\to A$ суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1).

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) $[\cdot ,\cdot {]}^{\wedge }$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F{]}^{\wedge }$, для которой

$[{ı}_K,{ı}_F]=ı([K,F{]}^{\wedge })$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм $K\in {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M,TM)$, $F\in {\mathrm{\Omega }}^{f+1}(M,TM)$:

$[K,F{]}^{\wedge }={ı}_{k}F-(-1{)}^{kf}{ı}_{F}K$

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в $T^{*}M\otimes TM$.

Литература

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — Шаблон:М: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.