Тождество Якоби

Шаблон:Другие значения термина Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию $[\cdot ,\cdot ]:V\times V\to V$ на линейном пространстве $V$. Имеет следующий вид:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V:[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение $[\cdot ,\cdot ]$ антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:y\mapsto [x,y]$

Записав тождество Якоби в форме

$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$:

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x[y,z]=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}y,z]+[y,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}z]$

Таким образом, ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$ — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{[x,y]}=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y]={\mathrm{a}\mathrm{d}}_x{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$

Это означает, что оператор $\mathrm{a}\mathrm{d}$ задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть $\mathrm{\Omega }={\oplus }_i{\mathrm{\Omega }}^i$ — градуированная алгебра, $[\cdot ,\cdot ]$ — умножение в ней. Говорят, что умножение в $\mathrm{\Omega }$ удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ${\omega }_i\in {\mathrm{\Omega }}^i$

$[{\omega }_m,[{\omega }_k,{\omega }_l]=[[{\omega }_m,{\omega }_k],{\omega }_l]+(-1{)}^{mk}[{\omega }_k,[{\omega }_m,{\omega }_l]$

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;