Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$, или $k$-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $(0,k)$ на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$-форм на многообразии $M$ обычно обозначают ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$.

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени $k$, или просто $k$-форма, — это гладкое сечение ${\bigwedge }^k{T}^{\ast }M$, то есть $k$-й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение $k$-формы на наборе из $k$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение $k$-формы в точке $x$ многообразия есть кососимметрический $k$-линейный функционал на $T_{x}M$.

В локальных координтах

$k$-формой на ${ℝ}^n$ будем называть выражение следующего вида

$\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1{i}_2\dots i_k}(x^1,\dots ,x^n)d{x}^{i_1}\wedge d{x}^{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}$

где $f_{i_1{i}_2\dots i_k}$ — гладкие функции, $d{x}^i$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^i$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$ ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для $k$-формы

  $\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1{i}_2\dots i_k}(x^1,\dots ,x^n)d{x}^{i_1}\wedge d{x}^{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}$

её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это $(k+1)$-форма, в координатах имеющая вид

$d\omega =\sum _{j=1}^n\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}\frac{\partial f_{i_1{i}_2\dots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots ,x^n)d{x}^j\wedge d{x}^{i_1}\wedge d{x}^{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}$

• Для инвариантного определения дифференциала нужно доказать, что существует единственное $ℝ$-линейное продолжение дифференциала на все формы удовлетворяющее следующим условиям:
  • $df(v)=v(f)$ для любой функции $f$ (то есть $0$-формы) и векторного поля $v$. То есть значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • $dd=0$
  • $d({\omega }^k\wedge {\vartheta }^p)=(d{\omega }^k)\wedge {\vartheta }^p+(-1{)}^k{\omega }^k\wedge (d{\vartheta }^p)$ — где верхние индексы $k$ и $p$ обозначают порядки соответствующих форм.

• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой $(k-1)$-формы.
• Факторгруппа $H_{dR}^k={\overline{\mathrm{\Omega }}}_k/d{\mathrm{\Omega }}_{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\omega$ степени $n$ по векторному полю $𝐯$ (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

  $i_{𝐯}\omega (u_1,\dots ,u_{n-1})=\omega (𝐯,u_1,\dots ,u_{n-1})$

Свойства

• Для любой формы справедливо $d(d\omega )=0$.

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $d({\omega }^k\wedge {\omega }^p)=(d{\omega }^k)\wedge {\omega }^p+(-1{)}^k{\omega }^k\wedge (d{\omega }^p)$

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $i_X({\omega }^k\wedge {\omega }^p)=(i_X{\omega }^k)\wedge {\omega }^p+(-1{)}^k{\omega }^k\wedge (i_X{\omega }^p)$

• Формулы Картана. Для произвольной формы $\omega$ и векторных полей $X,Y,Z$ выполняются следующие соотношения

  ${ℒ}_{X}d\omega =d{ℒ}_X\omega ,$

  ${ℒ}_X\omega =i_{X}d\omega +d{i}_X\omega ,$ (волшебная формула Картана)

  ${ℒ}_X{ℒ}_Y\omega -{ℒ}_Y{ℒ}_X\omega ={ℒ}_{[X,Y]}\omega ,$

  ${ℒ}_X{i}_Y\omega -i_Y{ℒ}_X\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$

  $i_X{i}_Y\omega +i_Y{i}_X\omega =0,$

где $ℒ$ обозначает производную Ли.

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_p(M)$ в множество вещественных чисел $ℝ$:

  $\omega (p):T_p(M)\to ℝ$

• Форма объёма — пример $n$-формы на $n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$-многообразии, такая что ${\omega }^n≠0$.

Применения

Векторный анализ

Шаблон:Main Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а $\ast$ — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

$\mathrm{rot}v=\ast dI(v)$

$\mathrm{div}v={\ast }^{-1}d\ast (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\mathbf{\text{𝐅}}=\frac{1}{2}{F}_{ab}\mathrm{d}{x}^a\wedge \mathrm{d}{x}^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

$\mathbf{\text{𝐉}}=J^a{\epsilon }_{abcd}\mathrm{d}{x}^b\wedge \mathrm{d}{x}^c\wedge \mathrm{d}{x}^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐅}}=\mathbf{\text{𝟎}}$

$\mathrm{d}\ast \mathbf{\text{𝐅}}=\mathbf{\text{𝐉}}$

где $\ast$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $\ast 𝐅$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Шаблон:Main С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$, называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X\in M$ изоморфизм $I$ кокасательного $T_X^{\ast }M$ и касательного $T_{X}M$ пространств по правилу

$dH(𝐮)=\omega (IdH,𝐮),\mathrm{\forall }𝐮\in T_{X}M$,

где $dH$ — дифференциал функции $H$. Векторное поле $IdH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$ со значениями в векторном расслоении $\pi :E\to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }M\right){\otimes }_{M}E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $TM$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса