Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть $V={ℝ}^n$, $V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,ℝ)$ и $V_q^p=((\stackrel{p}{\otimes }V))\otimes ((\stackrel{q}{\otimes }{V}^{*}))$ — пространство тензоров типа $(p,q)$ с естественным тензорным представлением группы $G{L}^1(n)=GL(n)$, тогда структура типа $V_q^p$ является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа $(p,q)$.

Определение через понятие тензорного расслоения

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения $T^{p,q}(M)$ на дифференцируемом многообразии $M$, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

$T^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{\otimes }T(M)\otimes \stackrel{q}{\otimes }T(M{)}^{*}.$

Нестрогое определение

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия $M$ ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке $x$ многообразия $M$ некоторый тензор фиксированной валентности $(p,q)$, отнесенный к этой точке $x$. Пусть теперь $\tilde{M}$ — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над $M$, и пусть $\pi :\tilde{M}\to M$ — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке $y$ многообразия $\tilde{M}$ некоторый тензор фиксированной валентности $(p,q)$ на $\tilde{M}$, отнесенный к точке $x=\pi (y)$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга