Тензорное расслоение

Тензорное расслоение типа $(p,q)$ на дифференцируемом многообразии $M$ — векторное расслоение $T^{p,q}(M)$ над $M$, ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство $T^{p,q}({ℝ}^n)$ тензоров типа $(p,q)$ на ${ℝ}^n$, в котором группа $GL(n,ℝ)$ действует при помощи тензорного представления. Например, $T^{1,0}(M)$ совпадает с касательным расслоением $T(M)$ над $M$, a $T^{0,1}(M)$ — с кокасательным расслоением $T(M{)}^{*}$.

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

$T^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{⨂}T(M)⨂\stackrel{q}{⨂}T(M{)}^{*}.$

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа $(p,q)$, которые называются тензорными полями типа $(p,q)$ и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на $M$ — это гладкое сечение расслоения $T^{0,2}(M)$, значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения $T^{p,q}(M)$ образуют модуль $D^{p,q}(M)$ над алгеброй $F^{\mathrm{\infty }}(M)=D^{0,0}(M)$ гладких функций на $M$. Если $M$ — паракомпактное многообразие, то

$D^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{⨂}{D}^1(M)⨂\stackrel{q}{⨂}{D}^1(M{)}^{*},$

где $D^1(M)=D^{1,0}(M)$ — модуль гладких векторных полей, $D^1(M{)}^{*}=D^{0,1}(M)$ — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над $F^{\mathrm{\infty }}(M)$.

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на $M$.

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.