Структура (дифференциальная геометрия)

Шаблон:Значения В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия $M$. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки $x$ многообразия $M$, но и от выбора корепера, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке $x$ (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим $G{L}^k(n)$ — общую дифференциальную группу порядка $k$ (группу $k$-струй в нуле преобразований пространства ${ℝ}^n$, сохраняющих начало координат), $M_k$ — многообразие кореперов порядка $k$ $n$-мерного многообразия $M$ (то есть многообразие $k$-струй $j_x^k(u)$ локальных карт $u:M\supset U\to {ℝ}^n$ с началом в точке $x=u^{-1}(0)$).

Группа $G{L}^k(n)$ действует слева на многообразии $M_k$ по формуле

$j_0^k(\phi )j_0^k(u)=j_x^k(\phi \circ u),j_0^k(\phi )\in G{L}^k(n),j_x^k(u)\in M_k.$

Это действие определяет в $M_k$ структуру главного $G{L}^k(n)$-расслоения ${\pi }_k:M_k\to M$, называемого расслоением кореперов порядка $k$.

Пусть теперь $W$ — произвольное $G{L}^k(n)$-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы $G{L}^k(n)$, a $W(M)$ — пространство орбит левого действия группы $G{L}^k(n)$ в $M_k\times W$. Расслоение ${\pi }_W:W(M)\to M$, являющееся естественной проекцией пространства орбит на $M$ и ассоциированное как с $W$, так и с $M_k$, называется расслоением геометрических структур типа $W$ порядка не больше $k$, а его сечения — структурами типа $W$. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с $G{L}^k(n)$-зквивариантными отображениями $S:M_k\to W$.

Таким образом, структуры типа $W$ можно рассматривать как $W$-значную функцию $S$ на многообразии $M_k$ $k$-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

$S(g{u}^k)=gS(u^k),g\in G{L}^k(n),u^k\in M_k.$

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия $M$ действует как группа автоморфизмов ${\pi }_W$.

Если $W$ есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы $G{L}^k(n)$, то структуры типа $W$ называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть $V={ℝ}^n$, $V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,ℝ)$ и $V_g^p=(({\otimes }^{p}V))\otimes (({\otimes }^q{V}^{*}))$ — пространство тензоров типа $(p,q)$ с естественным тензорным представлением группы $G{L}^1(n)=GL(n)$. Структура типа $V_q^p$ называется тензорным полем типа $(p,q)$. Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов $M_1$, сопоставляющую кореперу $\theta =j_1^1(u)=(d{u}^1,d{u}^2,\dots ,d{u}^n)$ набор координат $S(\theta {)}_{j_1{j}_2\dots j_q}^{i_1{i}_2\dots i_p}$ тензора $S(\theta )\in V_q^p$ относительно стандартного базиса

$\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \dots \otimes e_{i_p}\otimes e^{*j_1}\otimes e^{*j_2}\otimes \dots \otimes e^{*j_q}\}$

пространства $V_q^p$. При линейном преобразовании коронера $\theta \to g\theta =(g_a^{i}d{u}^a)$ координаты $S_{j_1{j}_2\dots j_p}^{i_1{i}_2\dots i_p}$ преобразуются по тензорному представлению:

$S_{j_1{j}_2\dots j_q}^{i_1{i}_2\dots i_p}(q\theta )=g_{a_1}^{i_1}{g}_{a_2}^{i_2}\dots g_{a_p}^{i_p}(g^{-1}{)}_{j_1}^{b_1}(g^{-1}{)}_{j_2}^{b_2}\dots (g^{-1}{)}_{j_q}^{b_q}S(\theta {)}_{b_1{b}_2\dots b_q}^{a_1{a}_2\dots a_p}.$

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

• векторное поле;
• дифференциальная форма;
• метрический тензор;
• симплектическая структура;
• комплексная структура.

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского.

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа $V_{(2)}^1$, где $V_{(2)}^1\approx V\otimes S^2{V}^{*}$ — ядро естественного гомоморфизма $G{L}^2(n)\to G{L}^1(n)$, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы $G{L}^2(n)=GL(n)V_{(2)}^1$.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или $G$-структур. Их можно определить как структуры типа $W$, где $W=G{L}^k(n)/G$ — однородное пространство группы $G{L}^k(n)$.

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие $G$-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на $G$-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — Шаблон:М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

• $G$-структура
• $(B,\phi )$-структура
• $C^k$-структура
• $pl$-структура
• $\mathrm{\Gamma }$-структура
• Контактная структура
• Почти комплексная структура
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Структура Ходжа
• Математическая структура