Структура Ходжа

Структура Ходжа веса $n$, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb{Z}}$ в действительном векторном пространстве $H_{ℝ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℝ$ и разложения $H_{ℂ}=\underset{n}{⨁}{H}^{p,q}$, где $n=p+q$, комплексного векторного пространства $H_{ℂ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℂ$, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие ${\overline{H}}^{p,q}=H^{q,p}$, где ${\overline{H}}^{p,q}$ — комплексное сопряжённое в $H_{ℂ}=H_{ℝ}\underset{ℝ}{⨂}ℂ$.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, $F^r=\underset{p⩾r}{⨁}{H}^{p,q}$ в $H_{ℂ}$ такой, что ${\overline{F}}^s\cap F^r=0$ при $r+s\ne n$. Тогда подпространства $H^{p,q}$ восстанавливаются по формуле $H^{p,q}={\overline{F}}^p\cap F^q$.

Данную структуру в пространстве $n$-мерных когомологий $H^n(X,ℂ)$ компактного кэлерова многообразия $X$ впервые изучил У. Ходж.

В этом случае подпространства $H^{p,q}$ описываются как пространства гармонических форм типа $(p,q)$ или как когомологии $H^q(X,{\mathrm{\Omega }}^p)$ пучков ${\mathrm{\Omega }}^p$ голоморфных дифференциальных форм.

Фильтрация Ходжа в $H^n(X,ℂ)$ возникает из фильтрации комплекса пучков $\mathrm{\Omega }=\sum _{p⩾0}{\mathrm{\Omega }}^p$, $n$-мерные гиперкогомологии которого изоморфны $H^n(X,ℂ)$, подкомплексами вида $\sum _{r⩾p}{\mathrm{\Omega }}^r$.

Смешанная структура Ходжа

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb{Z}}$ в $H_{ℝ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℝ$, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, $W_n$ в $H_{\mathbb{Q}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes \mathbb{Q}$ и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) $F^p$ в $H_{ℂ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℂ$ таких, что на пространстве $(W_n/W_{n+1})\otimes ℂ$ фильтрации $F^p$ и ${\overline{F}}^p$ определяют чистую структуру Ходжа веса $n$.

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений.