Комплексное многообразие

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в $n$-мерном комплексном пространстве ${ℂ}^n$. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат ${\omega }^i=u^i(z^1,\mathrm{...},z^n)$ является комплексно-аналитическим. То есть функции $u^i$ являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль:

$\frac{\partial ({\omega }^1,\dots ,{\omega }^n)}{\partial (z^1,\mathrm{...},z^n)}\ne 0$.

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное $n$-мерное векторное пространство ${ℂ}^n$.
• Комплексное проективное пространство $ℂP^n$. В частности, $ℂP^1$ диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору ${𝕊}^1\times {𝕊}^1$

Шаблон:ЯкорьЭрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

$d{s}^2=\sum _{j,k}{h}_{j\bar{k}}d{z}^{j}d\overline{z^k}$,

где $h_{j\bar{k}}=h_{\bar{j}k}$ — комплексные функции. Шаблон:See also

Литература

• Шаблон:Книга