Атлас (топология)

Шаблон:Другие значения Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $ℝ$ или $ℂ$), $X$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара $(U,f)$, где

$U$ — открытое множество в $X$

$f$ — гомеоморфизм из $U$ в открытое множество в $K^n$

• Локальная карта вводит в $U$ криволинейные координаты, сопоставляя точке $x=f^{-1}(t)$ набор чисел $t=(t^1,...,t^n)$

• Если области определения двух карт $(U_1,f_1)$ и $(U_2,f_2)$ пересекаются ($U_1\cap U_2\ne \mathrm{\varnothing }$), то между множествами $f_1(U_2)$ и $f_2(U_1)$ имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  $\begin{array}{cc}{f}_{12}=f_1\circ f_2^{-1}{|}_{f_2(U_1\cap U_2)}& :f_2(U_1\cap U_2)\to f_1(U_1\cap U_2)\\ f_{21}=f_2\circ f_1^{-1}{|}_{f_1(U_1\cap U_2)}& :f_1(U_1\cap U_2)\to f_2(U_1\cap U_2)\end{array}$

• Атлас — это множество согласованных карт $\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$, $\alpha \in 𝒜$, такое, что $\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$. Здесь $𝒜$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $C^k$) или аналитическим, если функции замены координат $f_{{\alpha }_1{\alpha }_2}$ для всех карт гладкие (класса $C^k$) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.