Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности $M^{2n+1}$, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы $\lambda$, что

$\lambda \wedge (d\lambda {)}^n\ne 0$

$\lambda$ называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле $Y$ на $M^{2n+1}$ такое, что

$\lambda (Y)=1$

$d\lambda (Y,X)=0$

для любого векторного поля $X$.

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

• С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией.
  • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Почти контактная структура

Пусть $M^{2n+1}$ — нечётномерное гладкое многообразие $\dim M=2n+1$.

Почти контактной структурой на многообразии $M$ называется тройка $(\eta ,\xi ,\mathrm{\Phi })$ тензорных полей на этом многообразии, где $\eta$ — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, $\xi$ — векторное поле, называемое характеристическим, $\mathrm{\Phi }$ — эндоморфизм $TM$, называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. $\eta (\xi )=1$
2. $\eta \circ \mathrm{\Phi }=0$
3. $\mathrm{\Phi }(\xi )=0$
4. ${\mathrm{\Phi }}^2=-id+\eta \otimes \xi$

Если, кроме того, на $M$ фиксирована риманова структура $g=⟨\cdot ,\cdot ⟩$, такая что

$⟨\mathrm{\Phi }X,\mathrm{\Phi }Y⟩=⟨X,Y⟩-\eta (X)\eta (Y)$

четвёрка $(\eta ,\xi ,\mathrm{\Phi },g)$ называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

• Шаблон:Книга
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.