Тензор электромагнитного поля

Шаблон:Электродинамика Тензор электромагнитного поля — антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\mathrm{F}}_{\mu \nu }=\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}.$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\mathrm{F}}_{\mu \nu }=\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

$F=𝐝A.$

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

• $F_{\mu \nu }$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

$F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }=2(B^2-E^2)=\text{inv},$

$\frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \sigma \rho }{F}_{\mu \nu }{F}_{\sigma \rho }=-4(𝐄\cdot 𝐁)=\text{inv}.$

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& -B_z& B_y\\ -E_y& B_z& 0& -B_x\\ -E_z& -B_y& B_x& 0\end{array}\right).$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

$F_{\mu \nu }=(𝐄,𝐁).$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

$F^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& -B_z& B_y\\ E_y& B_z& 0& -B_x\\ E_z& -B_y& B_x& 0\end{array}\right),$

что обозначается как

$F^{\mu \nu }=(-𝐄,𝐁).$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

$\begin{array}{cccccc}{E}_x& ={E_x}^{\prime },& E_y& =\frac{{E_y}^{\prime }+\frac{V}{c}{B_z}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},& E_z& =\frac{{E_z}^{\prime }-\frac{V}{c}{B_y}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\\ B_x& ={B_x}^{\prime },& B_y& =\frac{{B_y}^{\prime }-\frac{V}{c}{E_z}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},& B_z& =\frac{{B_z}^{\prime }+\frac{V}{c}{E_y}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}.\end{array}$

Применение

Непосредственно из определения следует, что

$𝐝F=0.$

В компонентах это выражение принимает вид

${\epsilon }_{\mu \rho \nu \sigma }\frac{\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}=\frac{\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}+\frac{\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}=0,$

где ${\epsilon }_{\mu \rho \nu \sigma }$ — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

$\mathrm{div}𝐁=0,$

$\mathrm{rot}𝐄=-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается (в Гауссовой СГС) через тензор электромагнитного поля и 4-ток как

${\partial }_{\nu }{F}^{\mu \nu }=-\frac{4\pi }{c}{j}^{\mu },$

где $j^{\mu }$ — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

$d*F=\frac{4\pi }{c}J.$

Сила Лоренца (и, соответственно, дифференциальное уравнение для движения заряда в четырёхмерной форме) выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд $e$ по формуле:

${ℱ}^{\mu }=mc\frac{d{u}^{\mu }}{ds}=\frac{e}{c}{F}^{\mu \nu }{u}_{\nu }.$

См. также

• Электромагнитный тензор энергии-импульса

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля