Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

T_{i j k \dots} = - T_{j i k \dots}

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами $U_{i j k \dots}$ , можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

$U_{(i j) k \dots} = (1 / 2) (U_{i j k \dots} + U_{j i k \dots})$ (симметричная часть),

$U_{[i j] k \dots} = (1 / 2) (U_{i j k \dots} - U_{j i k \dots})$ (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что $U_{i j k \dots} = U_{(i j) k \dots} + U_{[i j] k \dots}$

Свойства

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

$A_{(i j) k \dots} B_{[i j] k \dots} = A_{(j i) k \dots} B_{[j i] k \dots} = - A_{(i j) k \dots} B_{[i j] k \dots} = 0 .$