Свёртка тензора

Шаблон:Значения Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности $(m,n)$ в тензор валентности $(m-1,n-1)$.

Определение

В простейшем случае, свёртка для простого тензора $v\otimes f$ типа $(1,1)$, определяется как скаляр $f(v)$. Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа $(1,1)$.

В общем случае, тензор типа $(m,n)$ можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности $(n-1,m-1)$ в пространство тензоров валентности $(1,1)$; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности $(n-1,m-1)$ в скаляры, то есть тензор валентности $(m-1,n-1)$. Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

Обозначения

В координатах она записывается следующим образом:

$T_{j_1,\dots ,\underset{\_}{j_0},\dots ,j_n}^{i_1,\dots ,\underset{\_}{i_0},\dots ,i_n}\to T_{j_1,\dots ,j_n}^{i_1,\dots ,i_n}=T_{j_1,\dots ,\underset{\_}{i_0},\dots ,j_n}^{i_1,\dots ,\underset{\_}{i_0},\dots ,i_n}$

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по $i_0$.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, $A_j^i{B}_k^j$ есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

$\sum _{j=1}^N{A}_{ij}{B}_{jk}$.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

$A_{ij}{B}_{jk}=A_{ij}{g}^{jm}{B}_{mk}=A_{ij}{B}_k^j=C_{ik}$

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры

• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
• Свёртка $A_j^i{v}^j$ вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
• Свёртка $B_{ij}{a}^i{b}^j$ векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором $g_{ij}{a}^i{b}^j$ дает их скалярное произведение.
• В том числе $B_{ij}{v}^i{v}^j$ — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
• Свёртка $a_j{b}^j$ ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
• Свёртка $A_j^j$ тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы $A_j^i$. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
• Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): $B_{jk}^i=L_{jkp}^{iqr}{A}_{qr}^p$

Свойства

• Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).

Литература

• Шаблон:Книга