Билинейная форма

Пусть $L$ есть векторное пространство над полем $K$ (чаще всего рассматриваются поля $K=ℝ$ или $K=ℂ$).

Билинейной формой называется функция $F:L\times L\to K$, линейная по каждому из аргументов:

$F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)$,

$F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)$,

$F(\lambda x,y)=\lambda F(x,y)$,

$F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$,

здесь $x,y,z\in L$ и $\lambda \in K.$

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, ${ℝ}^n$) чаще используется другое определение.

Пусть $L$ есть множество векторов вида $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ где $x_i\in K,i=\overline{1,n}$.

Билинейными формами называются функции $F:L\times L\to K$ вида

$F(x,y)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{y}_j,$

где $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n),$ а $a_{ij}$ — некоторые константы из поля $K.$

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по $n$ переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.

Связанные определения

• Билинейная форма $F$ называется симметричной, если $F(x,y)=F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Билинейная форма $F$ называется кососимметричной (антисимметричной), если $F(x,y)=-F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Вектор $x\in L$ называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству $M\subset L$ относительно $F$, если $F(x,y)=0$ для всех $y\in M$. Совокупность векторов $x\in L$, ортогональных подпространству $M\subset L$ относительно данной билинейной формы $F$, называется ортогональным дополнением подпространства $M\subset L$ относительно $F$ и обозначается $M^{\perp }$.
• Радикалом билинейной формы $F$ называется ортогональное дополнение самого пространства $L$ относительно $F$, то есть совокупность $L^{\perp }$ векторов $x\in L$, для которых $F(x,y)=0$ при всех $y\in L$.

Свойства

• Множество всех билинейных форм $W(L,L)$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_1,\dots ,e_n$ в $L$ любая билинейная форма $F$ однозначно определяется матрицей

$\left(\begin{array}{cccc}F(e_1,e_1)& F(e_1,e_2)& \dots & F(e_1,e_n)\\ F(e_2,e_1)& F(e_2,e_2)& \dots & F(e_2,e_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ F(e_n,e_1)& F(e_n,e_2)& \dots & F(e_n,e_n)\end{array}\right),$

так что для любых векторов $x=x^1{e}_1+x^2{e}_2+\cdots +x^n{e}_n$ и $y=y^1{e}_1+y^2{e}_2+\cdots +y^n{e}_n$

$F(x,y)=\left(\begin{array}{cccc}{x}^1& x^2& \dots & x^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}F(e_1,e_1)& F(e_1,e_2)& \dots & F(e_1,e_n)\\ F(e_2,e_1)& F(e_2,e_2)& \dots & F(e_2,e_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ F(e_n,e_1)& F(e_n,e_2)& \dots & F(e_n,e_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^1\\ y^2\\ ⋮\\ y^n\end{array}\right),$

то есть

$F(x,y)=\sum _{i,j=1}^n{f}_{ij}{x}^i{y}^j,f_{ij}=F(e_i,e_j).$

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства $W(L,L)$ есть $\dim W(L,L)=(\dim L{)}^2$.
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы $F$ зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы $F$. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен $\dim L$.
• Для любого подпространства $M\subset L$ ортогональное дополнение $M^{\perp }$ является подпространством $M^{\perp }\subset L$.
• $\dim L^{\perp }=\dim L-r$, где $r$ — ранг билинейной формы $F$.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $X^i$ выражаются через координаты в новом $x^i$ через матрицу $\beta$ $X^i=\sum {\beta }_j^i{x}^j$, или в матричной записи $X=\beta x$, то билинейная форма $F$ на любых векторах $x$ и $y$ запишется, как

$F(x,y)=\sum _{i,j}{F}_{ij}{X}^i{Y}^j=\sum _{i,j,k,m}{F}_{ij}{\beta }_k^i{\beta }_m^j{x}^k{y}^m$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

$f_{km}=\sum _{i,j}{F}_{ij}{\beta }_k^i{\beta }_m^j$,

или, в матричной записи:

$f={\beta }^{T}F\beta$,

$\beta ={\alpha }^{-1}$, где $\alpha$ — матрица прямого преобразования координат $x=\alpha X$.

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством $\text{Hom}(V\otimes V,k)$, где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, $\text{Hom}(V\otimes V,k)\cong \text{Hom}(V,\text{Hom}(V,k))$, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из $V$ в двойственное пространство $V^{*}$. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

$B_1(𝗏)=B(𝗏,\cdot )$

$B_2(𝗏)=B(\cdot ,𝗏)$.

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Шаблон:Книга
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.