Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть $L$ есть векторное пространство над полем $K$ и $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — базис в $L$.

Функция $Q:L\to K$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

$Q(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j,$

где $x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n$, а $a_{ij}$ — некоторые элементы поля $K$.

Связанные определения и свойства

• Матрицу $A=(a_{ij})$ называют матрицей квадратичной формы $Q(x)$ в данном базисе. В случае, если характеристика поля $K$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

$Q(x_1,x_2)=a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+a_{22}{x}_2^2$.

• При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных $x_1,\dots ,x_n$) с матрицей замены $C$ матрица квадратичной формы изменяется по формуле

$A^{\prime }=C^{T}AC,$

где $A^{\prime }$ — матрица квадратичной формы в новом базисе.

• Из формулы $A^{\prime }=C^{T}AC$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг $n$, то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
• Для любой квадратичной формы $Q$ существует единственная симметричная билинейная форма $B$ такая, что $Q(x)=B(x,x)$. Билинейную форму $B$ называют полярной к $Q$, если она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда $K=ℝ$ (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

• Квадратичная форма $Q$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого $x\ne 0$ выполнено неравенство $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма $Q(x)$ называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма $Q(x)$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если $Q(x)\ge 0$ $(Q(x)\le 0)$ для любого $x\in L$ и существует $x\ne 0$ такой, что $Q(x)=0$.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

• Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причём минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда $K=ℝ$ (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

$Q(x)=a_1{x}_1^2+\cdots +a_p{x}_p^2-a_{p+1}{x}_{p+1}^2-\cdots -a_{p+q}{x}_{p+q}^2,0\le p,q\le r,p+q=r,(*)$

где $r$ — ранг квадратичной формы. В этом случае коэффициенты $a_i$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы $p+q=n$, а в случае вырожденной — $p+q<n$.

Существует также нормальный вид квадратичной формы:$Q_n(x)=x_1^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_{p+q}^2,0\le p,q\le r,p+q=r,(*)$.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причём привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Шаблон:Falseredirect Число $q$ (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число $p-q$ (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару $(p,q)$. Числа $p,q,p-q$ являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда $K=ℂ$ (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

$Q(x)=x_1^2+\cdots +x_r^2,(**)$

где $r$ — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один-единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

• Скалярное произведение векторов $(x,y)$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма $Q(x)=(x,x)$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору $x$ квадрат его длины.
• Квадратичная форма $Q(x)=x_1{x}_2$ на плоскости (вектор $x$ имеет две координаты: $x_1$ и $x_2$) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду $x_1{\text{'}}^2-x_2{\text{'}}^2$ с помощью линейной замены $x_1={x_1}^{\prime }+{x_2}^{\prime },x_2={x_1}^{\prime }-{x_2}^{\prime }$.

См. также

• Теорема Витта
• Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Литература

• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шаблон:Книга
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.