Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Шаблон:Значения Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$

В силу симметричности матрицы $a_{ij}(a_{ij}=a_{ji})$ квадратичную форму можно переписать следующим образом:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=\sum _{i=1}^n(a_{ii}{x_i}^2+\sum _{j=i+1}^{n}2a_{ij}{x}_i{x}_j)$

Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов $a_{ii}$ при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать $a_{11}\ne 0$ (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. все коэффициенты $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$, но есть коэффициент $a_{ij},i\ne j$, отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12}\ne 0$).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

$f(x_1,x_2,...,x_n)=(a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+...+2a_{1n}{x}_1{x}_n)+f_1(x_2,x_3,...,x_n)=$

$=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n{)}^2-\frac{1}{a_{11}}(a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n{)}^2+f_1(x_2,x_3,...,x_n)=$

$=\frac{1}{a_{11}}{y}_1^2+f_2(x_2,x_3,...,x_n)$, где

$y_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n$, а через $f_2(x_2,x_3,...,x_n)$ обозначены все остальные слагаемые.

$f_2(x_2,...,x_n)$ представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных $x_2,x_3,...,x_n$.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что $y_1=\frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}$

Второй случай заменой переменных $x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2,x_3=y_3,...,x_n=y_n$ сводится к первому.