Однородный многочлен

Шаблон:Не путать Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.

Примеры

$x^2+y^2$ — однородный многочлен;

$x^3+2x{y}^2$ — однородный многочлен;

$x^4+qxyz$ — однородный многочлен;

$x+yz$ — неоднородный многочлен.

Вариации и обобщения

Однородная функция.

Пусть группа $G$ действует на векторах из переменных. Многочлен $P(z)$ называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента $g$ группы $P(gz)\equiv hP(z)$, где множитель $h$ зависит только от $g$. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя $h$ называется степенью однородности многочлена.

Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:

$g\in ℂ\setminus \{0\}:g(z_1,\dots ,z_n)=(g{z}_1,\dots ,g{z}_n),$

поскольку

$P(gz)=\sum _{|\alpha |=k}{c}_{\alpha }(gz{)}^{\alpha }=g^k\sum _{|\alpha |=k}{c}_{\alpha }(z{)}^{\alpha }=g^{k}P(z).$

В данном случае степень однородности многочлена $k$ совпадает с его степенью.