Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

$A=\left|\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\right|.$

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры ${\mathrm{\Delta }}_i$ размеров Шаблон:Nums, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки ${\mathrm{\Delta }}_i$ чередуются, причём ${\mathrm{\Delta }}_1<0$. Здесь угловыми минорами матрицы $A$ называются определители вида

${\mathrm{\Delta }}_1=a_{11},{\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_i=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1i}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2i}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{ii}\end{array}\right|,\dots$

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Критерий гласит, что

Шаблон:Рамка для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры её матрицы были положительны. Шаблон:Конец рамки

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимости

Пусть $q(x)$ — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как $q(e_j)>0$, где $e_j$ — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров стро́ки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточности

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа ${\mathrm{\Delta }}_{i+1}/{\mathrm{\Delta }}_i$ определяет знак (Шаблон:Nums)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Шаблон:Рамка Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны. Шаблон:Конец рамки

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица $A$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица $-A$ является положительно определённой. При замене матрицы $A$ на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.

Критерий полуопределённости квадратичной формы

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).

Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$: ${\mathrm{\Delta }}_1={\mathrm{\Delta }}_2=0⩾0$, но форма не является положительно полуопределённой.

См. также

• Джеймс Джозеф Сильвестр