Символы Кристоффеля

Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется символ $\{\begin{array}{c}k\\ ij\end{array}\}.$

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

История

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (Шаблон:Lang-de — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча

Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние $r$ от неё до полюса и угол $\phi$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: $(\mathrm{d}r,\mathrm{d}\phi )$.

Пусть есть вектор $𝑨$ с компонентами $(a,\alpha )$, где $a$ имеет геометрический смысл проекции вектора $𝑨$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а $\alpha$ — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние $\mathrm{d}r$, его компонента $a$, очевидно, не меняется, но вторая его координата ($\alpha$) уменьшается (рис. 1). Величина вектора $|A{|}^2=a^2+r^2{\alpha }^2$ остаётся неизменной, поэтому $a^2+(r+\mathrm{d}r{)}^2(\alpha +\mathrm{d}\alpha {)}^2=a^2+r^2{\alpha }^2$. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

$\mathrm{d}\alpha =-\frac{1}{r}\alpha \mathrm{d}r.$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты $a$ и $\alpha$ (рис. 2). Очевидно, $\alpha =\frac{A}{r}\sin \lambda$, $a=A\cos \lambda$, и $\mathrm{d}\lambda =-\mathrm{d}\phi$ поэтому:

$\mathrm{d}\alpha =-\frac{1}{r}a\mathrm{d}\phi .$

Кроме этого, так как $a=A\cos \lambda$, $\mathrm{d}\lambda =-\mathrm{d}\phi$, и $A\sin \lambda =r\alpha$, то

$\mathrm{d}a=-(-r)\alpha \mathrm{d}\phi .$

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и $r$, и $\phi$) изменения компонент надо складывать:

$\mathrm{d}a=-(-r)\alpha \mathrm{d}\phi .$ $\mathrm{d}\alpha =-\frac{1}{r}\alpha \mathrm{d}r-\frac{1}{r}a\mathrm{d}\phi .$

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях $x^1=r$, $x^2=\phi$, $A^1=a$ и $A^2=\alpha$ можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

$\mathrm{d}{A}^i=-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^i{A}^k\mathrm{d}{x}^l.$

Здесь символы Кристоффеля ${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r$, ${\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{21}^2=1/r$, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ${\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$ по базису:

${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_j}{\partial }_i={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\partial }_k.$

Символы Кристоффеля первого рода ${\mathrm{\Gamma }}_{n,ij}^{}$:

${\mathrm{\Gamma }}_{n,ij}=g_{kn}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}).$

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты $x^i$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{jk}={\mathrm{\Gamma }}^i{}_{kj},$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора $g_{ik}$ равна нулю:

$0={\mathrm{\nabla }}_{\ell }{g}_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}-g_{mk}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{i\ell }-g_{im}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }.$

Для сокращения записи символ набла $\mathrm{\nabla }$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

$0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{i\ell }-g_{im}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }.$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }=\frac{1}{2}{g}^{im}(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}+\frac{\partial g_{m\ell }}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{k\ell }}{\partial x^m})=\frac{1}{2}{g}^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),$

где $g^{ij}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к $g_{ij}$, находится путём решения системы линейных уравнений $g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$.

Инвариантные обозначения

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами $X^i$ и $Y^k$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

${\left({\mathrm{\nabla }}_{X}Y\right)}^k=X^i{\mathrm{\nabla }}_i{Y}^k=X^i(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}+{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{im}{Y}^m).$

Условие отсутствия кручения у связности:

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{jk}={\mathrm{\Gamma }}^i{}_{kj}.$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных $(x^1,\dots ,x^n)$ на $(y^1,\dots ,y^n)$ базисные векторы преобразуются ковариантно:

$\frac{\partial }{\partial y^i}=\frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial }{\partial x^k},$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\overline{\mathrm{\Gamma }}}^k{}_{ij}=\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\frac{\partial x^q}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}^r{}_{pq}\frac{\partial y^k}{\partial x^r}+\frac{\partial y^k}{\partial x^r}\frac{{\partial }^2{x}^r}{\partial y^i\partial y^j}.$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) $H_{\beta }$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }{H}_{\gamma }\frac{\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}$ при $\beta \ne \gamma ,$

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }\frac{\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}.$

Символы Кристоффеля второго рода:

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \beta }^{\gamma }=-\frac{H_{\beta }}{H_{\gamma }^2}\frac{\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}$ при $\beta \ne \gamma ,$

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\beta }={\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \beta }^{\beta }=\frac{1}{H_{\beta }}\frac{\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}.$

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат $\{x,y,z\}$: ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\equiv 0$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат $\{r,\varphi ,z\}$: ${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r$, ${\mathrm{\Gamma }}_{21}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2=\frac{1}{r}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат $\{r,\theta ,\varphi \}$: ${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r$, ${\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-r{\sin }^2\theta$, ${\mathrm{\Gamma }}_{21}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3={\mathrm{\Gamma }}_{31}^3=\frac{1}{r}$, ${\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\cos \theta \sin \theta$, ${\mathrm{\Gamma }}_{23}^3={\mathrm{\Gamma }}_{32}^3=\mathrm{ctg}\theta$. Остальные равны нулю.

Вариации и обобщения

Разница двух аффинных связностей

${\mathrm{\Gamma }}_{X}Y={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y$

является тензором. В случае если $\tilde{\mathrm{\nabla }}$ определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ являются компонентами полученного тензора $\mathrm{\Gamma }$. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

${\mathrm{\Gamma }}_{X}Y={\mathrm{\Gamma }}_{Y}X$.

Можно выбрать другую базовую связность $\tilde{\mathrm{\nabla }}$. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность $\tilde{\mathrm{\nabla }}$ может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря ${\mathrm{\Gamma }}_{X}Y\ne {\mathrm{\Gamma }}_{Y}X$. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

$⟨{\mathrm{\Gamma }}_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\mathrm{\Gamma }}_{X}Z⟩=0$.

Иначе говоря $\mathrm{\Gamma }$ является 1-формой на многообразии со значениями ${\mathrm{\Gamma }}_X$ в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

См. также

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга