Полярная система координат

Полярные координаты

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, осьШаблон:Sfn) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами $\rho$ и $\phi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениями:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi ,$

где $0⩽\rho <+\mathrm{\infty },$ $0⩽\phi <2\pi$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат $(\rho ,\phi )$ получилось взаимно однозначнымШаблон:Sfn.

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки $M$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус $\rho$, — расстояние от полюса $O$ до точки $M$; полярный угол $\phi$, — угол, на который поворачивается полярная ось $OX$ до совмещения с точкой $M$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В этих определениях предполагается, что полюс $O$ и точка $M$ не совпадают. Полюс $O$ находится на особом положении: его полярный радиус $\rho$ полагается равным нулю, а полярный угол $\phi$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение $\phi =0$Шаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональнаШаблон:Sfn. Ортогональные Шаблон:Iw полярной системы координат суть концентрические окружности при $\rho =\text{const}$ и лучи при $\phi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравненийШаблон:Sfn.

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты $\rho =3$, $\phi =-\frac{\pi }{2}$, так и $\rho =3$, $\phi =\frac{3\pi }{2}$ задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты $\rho =1$, $\phi =0$, так и $\rho =1$, $\phi =2\pi$ и $\rho =1$, $\phi =-2\pi$ задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками $N$ и $A$)Шаблон:Sfn.

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для $\rho$ и $\phi$. Закон изменения значений полярных координат $\rho$ и $\phi$ выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину $\phi +k\pi$, где $k$ — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описаниеШаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами $r$ и $\psi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=ar\cos \psi ,$ $y=br\sin \psi ,$

где $0⩽r<+\mathrm{\infty },$ $0⩽\psi <2\pi ,$ $a,b>0,$ $a\ne b$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при $r=\text{const}$ и лучи при $\psi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координатШаблон:Sfn.

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («Шаблон:Lang-en»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Определение полярной системы координат

Полярная система координат

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, осьШаблон:Sfn) — система координат на плоскости, которую определяют следующие пять объектов (см. рисунок справа с этими объектами)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• масштаб, то есть единица измерения длины;
• единица измерения плоских углов (обычно радиан)Шаблон:Sfn;
• ориентация плоскости, то есть направление её вращения, которое выбрано положительным (обычно против часовой стрелкиШаблон:SfnШаблон:Sfn);
• фиксированная точка плоскости $O$. Эта точка называется началом, или полюсом, системы координат;
• луч $OX$, исходящий из точки $O$ и от неё направленный (обычно горизонтальныйШаблон:Sfn). Этот луч называется полярной осью.

Полярные координаты точек плоскости

Шаблон:ЯкорьШаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Полярные координаты — координаты произвольной точки $M$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чиселШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• первая полярная координата, или полярный радиус $\rho$, — расстояние от полюса $O$ до точки $M$;
• вторая полярная координата, или полярный угол $\phi$, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой $M$.

Точка $M$, имеющая полярные координаты, обозначаемые греческими буквами $\rho$ и $\phi$, записываетсчя символом $M(\rho ,\phi )$ (иногда $M⟨\phi ,r⟩$)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

В этих определениях предполагается, что полюс $O$ и точка $M$ не совпадают. Полюс $O$ находится на особом положении: его полярный радиус $\rho$ полагается равным нулю, а полярный угол $\phi$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение $\phi =0$Шаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Раньше первой полярной координатой могли называть полярный угол $\phi$, а второй — полярный радиус $\rho$Шаблон:Sfn. Полярный радиус также могут обозначать латинской буквой $r$Шаблон:Sfn, а полярный угол $\phi$ могут называть амплитудой, или фазой, и обозначать $\theta$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональнаШаблон:Sfn. Ортогональные Шаблон:Iw полярной системы координат суть концентрические окружности при $\rho =\text{const}$ и лучи при $\phi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравненийШаблон:Sfn.

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты $\rho =3$, $\phi =-\frac{\pi }{2}$, так и $\rho =3$, $\phi =\frac{3\pi }{2}$ задают одну и ту же точку плоскости $N$. Как полярные координаты $\rho =1$, $\phi =0$, так и $\rho =1$, $\phi =2\pi$ и $\rho =1$, $\phi =-2\pi$ задают также одну и ту же точку плоскости $A$ (см. рисунок справа с этими точками)Шаблон:Sfn.

Каждой паре значений полярных координат $\rho$ и $\phi$ соответствует только одна точка плоскости, но одной и той же точке плоскости $M$ соответствует бесконечное множество значений полярного угла $\phi$, отличающихся друг от друга на число, кратное $2\pi$ (см. пример 1)Шаблон:Sfn.

Как правило, полагают, что значения полярных координат $\rho$ и $\phi$ точек плоскости, отличных от полюса, лежат в следующих границахШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$0<\rho <+\mathrm{\infty },$ $0⩽\phi <2\pi$

(иногда $0<\rho <+\mathrm{\infty },$ $-\pi <\phi ⩽\pi$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn).

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат $(\rho ,\phi )$ получилось взаимно однозначнымШаблон:Sfn.

Главное значение полярного угла — значение полярного угла $\phi$, при котором получается взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат. Как правило, это значения $0⩽\phi <2\pi$ (иногда используются значения $-\pi <\phi ⩽\pi$)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры главных значений полярных углов. Точке плоскости $N$ из предыдущего примера отвечают полярные координаты $\rho =3$, $\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, где $k$ есть целое число, при этом главное значение полярного угла $\frac{3\pi }{2}$. Точке плоскости $A$ из примера 1 отвечают полярные координаты $\rho =1$, $\phi =2k\pi$, при этом главное значение полярного угла $\phi =0$Шаблон:Sfn.

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для $\rho$ и $\phi$. Закон изменения значений полярных координат $\rho$ и $\phi$ выясняется в каждом конкретном случае. Например (имеется более подробное описаниеШаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

• при вращении некоторой точки по окружности в обе стороны (когда $\rho =\text{const}$) естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать значения, большие $2\pi$ или меньшие нуля;
• при движении точки по прямой, проходящей через полюс (когда $\phi =\text{const}$), естественно считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами $r$ и $\psi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=ar\cos \psi ,$ $y=br\sin \psi ,$

где $0⩽r<+\mathrm{\infty },$ $0⩽\psi <2\pi ,$ $a,b>0,$ $a\ne b$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при $r=\text{const}$ и лучи при $\psi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координатШаблон:Sfn.

Связь полярных и декартовых координат

Соответствие полярной и декартовой систем координат

Иногда приходится одновременно использовать и полярную и декартову системы координат. в такой ситуации появляются две задачи: по полярным координата некоторой точки определить её декартовы координаты, и наоборот. Решим эти две задачи в частном случае, когда полярная и декартова системы координат связаны определённым образомШаблон:Sfn.

Если на плоскости задана некоторая полярная система координат, то тем самым задана и следующая строго определённая декартова система координат, и наоборотШаблон:Sfn.

Декартова система координат, определённая данной полярной — система координат, определённая следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• масштаб декартовой системы равен масштабу полярной;
• начало декартовой системы $O$ совпадает с началом полярной $O$;
• положительная полуось абсцисс $OX$ декартовой системы совпадает с полярной осью $OX$;
• ориентация декартовой системы совпадает с ориентацией полярной;
• ось ординат $OY$ декартовой системы совпадает с её осью абсцисс $OX$, повёрнутой на угол $\phi =\frac{\pi }{2}$ в положительном направлении.

Полярная система координат, определённая данной декартовой — система координат, определённая следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• масштаб полярной системы равен масштабу декартовой;
• начало полярной системы $O$ совпадает с началом декартовой $O$;
• полярная ось $OX$ совпадает с положительной полуосью абсцисс $OX$ декартовой системы;
• ориентация полярной системы совпадает с ориентацией декартовой;
• полярная ось $OX$, повёрнутая на угол $\phi =\frac{\pi }{2}$ в положительном направлении, совпадает с положительной полуосью ординат $OY$ декартовой системы.

Если для данной декартовой системы координат построить определённую ею полярную, а потом для этой полярной системы координат построить определённую ею декартову, то получится исходная декартова система координат. И наоборотШаблон:Sfn.

В итоге получаем следующую теоремуШаблон:Sfn.

Теорема соответствия систем координат. Каждой декартовой системы координат соответствует строго определённая полярная, и наоборотШаблон:Sfn.

Формулы перехода между полярными и декартовыми координатами

Полярные и декартовы координаты

Положительный полярный радиус

В случае положительного полярного радиуса $\rho ⩾0$ очень легко доказываетсяШаблон:Sfn следующая достаточно очевидная теоремаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема представления декартовых координат. Формулы, выражающие декартовы координаты через полярные, имеют следующий видШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi .$

Следующую теорему можно легко доказать непосредственно или вывести её из предыдущей теоремыШаблон:Sfn.

Теорема представления полярных координат. Формулы, выражающие полярные координаты через декартовы, имеют следующий видШаблон:Sfn:

$\rho =\sqrt{x^2+y^2},$

$\cos \phi =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$ $\sin \phi =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},$

$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}.$

Следует иметь ввиду, что одной формулы $\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$ или только одной из формул $\cos \phi =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\sin \phi =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ недостаточно для правильного определения полярного угла $\phi$, что подтверждает следующая задачаШаблон:Sfn.

Задача вычисления полярных координат. Пусть декартовы координаты точки $M$ плоскости равны $x=2$, $y=-2$. Вычислит полярные координаты этой точкиШаблон:Sfn.

Решение. 1. Сразу получаем: $\rho =\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$, $\mathrm{tg}\phi =\frac{-2}{2}=-1$. Следовательно, либо $\phi =\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, либо $\phi =\frac{7\pi }{4}+2k\pi$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение, и главное значение полярного угла $\phi$ равно $\frac{7\pi }{4}$Шаблон:Sfn.

2. Используем другую формулу: $\cos \phi =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, либо $\phi =\frac{\pi }{4}+2k\pi$, либо $\phi =\frac{7\pi }{4}+2k\pi$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение. Получили то же самое, что и раньшеШаблон:Sfn.

Определим главное значение полярного угла $\phi$ произвольной точки $M(\rho ,\phi )$ плоскости по её декартовым координатам $(x,y)$, используя квадрант точки М и формулу $\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале $[0,2\pi )$ имеем следующие формулы:

$\rho >0,$ $0⩽\phi <2\pi ,$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\frac{y}{x},& x>0,y⩾0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+2\pi ,& x>0,y<0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi ,& x<0;\\ \frac{\pi }{2},& x=0,y>0;\\ \frac{3\pi }{2},& x=0,y<0;\end{array}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале $(-\pi ,\pi ]$ имеем следующие формулы:

$\rho >0,$ $-\pi <\phi ⩽\pi ,$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\frac{y}{x},& x>0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi ,& x<0,y⩾0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}-\pi ,& x<0,y<0;\\ \frac{\pi }{2},& x=0,y>0;\\ -\frac{\pi }{2},& x=0,y<0.\end{array}$

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение $y$ к $x$, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций? помимо функции обычного арктангенса, ещё и дополнительную функцию арктангенса с двумя аргументами для числителя и знаменателя. Например, в системе компьютерной алгебры Mathematica язык программирования Wolfram поддерживает функцию ArcTan, которую можно использовать как с одним аргументом, так и с двумяШаблон:Sfn.

Полярный радиус любого знака

Пусть полярный радиус может принимать любые вещественные значения. Тогда формулы перехода между полярными и декартовыми координатами принимают другой вид (три формулы остаются прежними, три формулы изменяются):

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi .$

$\rho =\pm \sqrt{x^2+y^2},$

$\cos \phi =\frac{x}{\pm \sqrt{x^2+y^2}},$ $\sin \phi =\frac{y}{\pm \sqrt{x^2+y^2}},$

$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x},$

причём для конкретной точки на плоскости в знаке плюс-минус берётся либо только плюс, либо только минусШаблон:Sfn.

Определим главное значение полярного угла $\phi$ произвольной точки $M(\rho ,\phi )$ плоскости по её декартовым координатам $(x,y)$ при $\rho <0$, используя квадрант точки М и формулу $\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале $[0,2\pi )$ имеем следующие формулы:

$\rho <0,$ $0⩽\phi <2\pi ,$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi ,& x>0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+2\pi ,& x<0,y⩾0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi ,& x<0,y<0;\\ \frac{3\pi }{2},& x=0,y>0;\\ \frac{\pi }{2},& x=0,y<0;\end{array}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале $(-\pi ,\pi ]$ имеем следующие формулы:

$\rho <0,$ $-\pi <\phi ⩽\pi ,$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}-\pi ,& x>0,y⩾;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi ,& x>0,y<0;\\ \mathrm{arctg}\frac{y}{x},& x<0;\\ -\frac{\pi }{2},& x=0,y>0;\\ \frac{\pi }{2},& x=0,y<0.\end{array}$

Обобщённая полярная система координат

Формулы перехода от полярной системы координат к декартовой позволяют сформулировать более простое определение полярной системы координатШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами $\rho$ и $\phi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениями:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi ,$

где $0⩽\rho <+\mathrm{\infty },$ $0⩽\phi <2\pi$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Такое определение даёт возможность ввести следующее понятие обобщённой полярной системы координатШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами $r$ и $\psi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=ar\cos \psi ,$ $y=br\sin \psi ,$

где $0⩽r<+\mathrm{\infty },$ $0⩽\psi <2\pi ,$ $a,b>0,$ $a\ne b$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при $r=\text{const}$ и лучи при $\psi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Окружность, проходящая через полюс

Окружность, проходящая через полюс

Окружность, проходящая через полюс — окружность, на которой находится полюс $O$ полярной системы координат. Использование такой окружности достаточно распространено в геометрии, например, на её уравнении основан вывод уравнений улитки Паскаля и кардиоиды. В декартовой системе координат $XOY$ уравнение такой окружности радиуса $R$ легко получается по теореме Пифагора (см. рисунок справа с прямоугольным треугольником $CMP$):

$(x-R{)}^2+y^2=R^2$,

причём центр $C$ окружности находится на положительной полуоси $OX$Шаблон:Sfn.

С помощью формул

$x=\rho \cos \phi ,$ $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$

легко вычисляется уравнение этой окружности в полярной системе координат с полюсом $O$ и полярной осью $OX$Шаблон:Sfn:

${\rho }^2-2R\rho \cos \phi =0$.

Полученное уравнение окружности распадается на два уравненияШаблон:Sfn:

$\rho =0$;

$\rho -2R\cos \phi =0$.

Первое уравнение есть уравнение полюса $O$. Второе уравнение есть уравнение всей окружности, при этом полюс $O$ получается при $\phi =\frac{\pi }{2}$ и $\phi =-\frac{\pi }{2}$. Следовательно, первое уравнение можно отбросить, окончательно получаем уравнение такой окружности в полярной системе координатШаблон:Sfn:

$\rho =2R\cos \phi$.

Это уравнение можно получить непосредственно, без привлечения декартовой системы координат, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $MOK$ (см. рисунок справа вверху с этим треугольником)Шаблон:Sfn.

Приведём уравнения окружности, проходящей через полюс, соответственно в декартовой и полярной системах координат с центром окружности, находящимсяШаблон:Sfn:

• на положительной полуоси $OY$:

$x^2+(y-R{)}^2=R^2$,

$\rho =2R\sin \phi$;

• на отрицательной полуоси $OY$:

$x^2+(y+R{)}^2=R^2$,

$\rho =-2R\sin \phi$;

• на отрицательной полуоси $OX$:

$(x+R{)}^2+y^2=R^2$,

$\rho =-2R\cos \phi$.

Использование отрицательных значений полярного радиуса

Окружность, проходящая через полюс

Рассмотрим следующее уравнение окружности, проходящей через полюс:

$(x-R{)}^2+y^2=R^2$,

когда центр окружности находится на положительной полуоси $OX$ (см. рисунок справа с такой окружностью). Если использовать только неотрицательные значения полярного радиуса $\rho$ и не вводить отрицательных, то в этом уравнении угол $\phi$ можно использовать только в первой и четвёртой четвертях, а во второй и третьей — нельзя, поскольку, например, при $\phi =\frac{3\pi }{4}$ из уравнения следует $\rho =-R\sqrt{2}$. Это вытекает из того, что луч $ON$ и окружность имеют только одну общую точку: полюсШаблон:Sfn.

Но в том случае, когда используются отрицательные значения полярного радиуса $\rho$, то как раз полярные координаты

$\rho =-R\sqrt{2},$ $\phi =\frac{3\pi }{4}$

и соответствуют точке $L$ на продолжении луча $ON$Шаблон:Sfn.

Дифференциальные характеристики

Первые и вторые производные

Якобианы

Независимо от знаков декартовых координат частные производные функций перехода между полярными и декартовыми координатами

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi ,$

$\rho =\pm \sqrt{x^2+y^2},$ $\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$

имеют следующий очень простой вид, благодаря чему получаем удобные якобианыШаблон:Sfn:

$\det \frac{D(x,y)}{D(\rho ,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \rho }& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial \rho }& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos (\phi )& -\rho \sin (\phi )\\ \sin (\phi )& \rho \cos (\phi )\end{array}\right|=\rho$;

$\det \frac{D(\rho ,\phi )}{D(x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \rho }{\partial x}& \frac{\partial \rho }{\partial y}\\ \frac{\partial \phi }{\partial x}& \frac{\partial \phi }{\partial y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos (\phi )& \sin (\phi )\\ -\frac{1}{\rho }\sin (\phi )& \frac{1}{\rho }\cos (\phi )\end{array}\right|=\frac{1}{\rho }$.

Элемент длины

Непосредственное вычисление

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулойШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}.$

Элемент длины в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть дана некоторая дуга и произвольную точку $M$ на ней (см. рисунок справа с толстой синей дугой). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат $O$) радиуса $OM=\rho$. Рассмотрим криволинейный треугольник $MKN$, образованный дугой окружности $\stackrel{⌣}{MK}=\rho \mathrm{\Delta }\phi$, отрезком $KN=\mathrm{\Delta }\rho$ и частью $\stackrel{⌣}{MN}=\mathrm{\Delta }l$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине $K$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга $\stackrel{⌣}{MN}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

$\stackrel{⌣}{MN}\approx \sqrt{K{N}^2+\stackrel{⌣}{KM}{}^2}$,

то есть в других обозначениях

$\mathrm{\Delta }l\approx \sqrt{\mathrm{\Delta }{\rho }^2+{\rho }^2\mathrm{\Delta }{\phi }^2}\approx \sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги $l$ в полярной системе координатШаблон:Sfn.

Использование элемента длины из декартовых координат

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

$dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярныеШаблон:Sfn:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi .$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

$dx=d(\rho \cos \phi )=\cos \phi d\rho -\rho \sin \phi d\phi$,

$dy=d(\rho \sin \phi )=\sin \phi d\rho +\rho \cos \phi d\phi$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получимШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{(\cos \phi d\rho -\rho \sin \phi d\phi {)}^2+(\sin \phi d\rho +\rho \cos \phi d\phi {)}^2}=$

$=\sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}$.

Другие формулы

Коэффициенты ЛамеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$L_{\rho }=1,$ $L_{\phi }=\rho .$

Элемент площадиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ds=\rho d\rho d\phi .$

Векторные операции

ГрадиентыШаблон:Sfn:

${\mathrm{grad}}_{\rho }f=\frac{\partial f}{\partial \rho },$ ${\mathrm{grad}}_{\phi }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }.$

ДивергенцияШаблон:Sfn:

$\mathrm{div}a=\frac{1}{\rho }{a}_{\rho }+\frac{\partial a_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial a_{\phi }}{\partial \phi }.$

Оператор ЛапласаШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=$

$=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Окружность, заданная уравнением $r(\phi )=1$

Общее уравнение окружности с центром в ($r_0,\theta$) и радиусом $a$ имеет вид:

$r^2-2r{r}_0\cos (\phi -\theta )+r_0^2=a^2.$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

$r(\phi )=a$

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом $a$.

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

$\phi =\theta$,

где $\theta$ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, $\theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}m$, где $m$ — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую $\phi =\theta$ в точке $(r_0,\theta )$ определяется уравнением

$r(\phi )=r_0\sec (\phi -\theta ).$

Полярная роза

Полярная роза задана уравнением $r(\phi )=2\sin 4\phi$

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

$r(\phi )=a\cos (k\phi +{\theta }_0)$

для произвольной постоянной ${\theta }_0$ (включая 0). Если $k$ — целое число, то это уравнение будет определять розу с $k$ лепестками для нечётных $k$, либо с $2k$ лепестками для чётных $k$. Если $k$ — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если $k$ — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная $a$ определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном $k$ мы будем иметь $k$-лепестковую розу. Таким образом, уравнение $r(\phi )=\cos (2\phi )$ будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным. Шаблон:-

Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением $r(\phi )=\phi$ для $0<\theta <6\pi$

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

$r(\phi )=a+b\phi .$

Изменения параметра $a$ приводят к повороту спирали, а параметра $b$ — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для $\phi >0$ а другую для $\phi <0$. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением. Шаблон:-

Конические сечения

Полярные координаты для эллипса с началом координат в одном из его фокусов

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой — где-то на полярной оси, так, что ось лежит вдоль полярной оси, задаётся уравнением:

$r=\frac{\ell }{1-e\cos \phi },$

где $e$ — эксцентриситет,

$\ell$ — фокальный параметр — расстояние от фокуса до директрисы.

Если $e>1$ это уравнение определяет гиперболу; если $e=1,$ то параболу; если $e<1,$ то эллипс. Особым случаем является $e=0$, определяющим окружность с радиусом $\ell$.

Например, уравнение эллипса в полярных координатах, когда ось координат направлена по одной из осей эллипса и начало координат находится в одном из его фокусов будет:

$r(\phi )=\frac{a(1-e^2)}{1\pm e\cos \phi }=\frac{\ell }{1\pm e\cos \phi },$

где $a$ — длина полуоси эллипса вдоль оси координат.

Знак в знаменателе последнего выражения отрицательный, если направление оси координат к центру эллипса и положительный если иначе.

Связь полярных координат с комплексными числами

Пример комплексного числа $z$, нанесённого на комплексную плоскость

Пример комплексного числа, изображённого на плоскости с использованием формулы Эйлера

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, положение этой точки может задаваться любой системой координат, например, в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма).

Комплексное число $z$ может быть записано в прямоугольной форме так:

$z=x+iy,$

где $i$ — мнимая единица,

или в полярной системе координат:

$z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),$

отсюда:

$z=r{e}^{i\phi }$,

где $e$ — число Эйлера.

Согласно формуле Эйлера, оба представления эквивалентны. В этой формуле, как и в других формулах, где углы находятся в показателе степени, угол $\phi$ всегда задан в радианах.

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел могут использоваться формулы преобразования между системами координат (см. формулы преобразования между системами координат выше).

Операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел проще проводить в полярной форме. Согласно этим правилам:

• Умножение:

$r_0{e}^{i{\phi }_0}\cdot r_1{e}^{i{\phi }_1}=r_0{r}_1{e}^{i({\phi }_0+{\phi }_1)}.$

• Деление:

$\frac{r_0{e}^{i{\phi }_0}}{r_1{e}^{i{\phi }_1}}=\frac{r_0}{r_1}{e}^{i({\phi }_0-{\phi }_1)}.$

• Возведение в степень (формула Муавра):

$(r{e}^{i\phi }{)}^n=r^n{e}^{in\phi }.$

В математическом анализе

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты.

Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

$r\frac{\partial }{\partial r}=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y},$

$\frac{\partial }{\partial \phi }=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}.$

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой $r(\phi )$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

$x=r(\phi )\cos \phi ,$

$y=r(\phi )\sin \phi .$

Дифференцируя оба уравнения по $\phi$ получим:

$\frac{dx}{d\phi }=r^{\prime }(\phi )\cos \phi -r(\phi )\sin \phi ,$

$\frac{dy}{d\phi }=r^{\prime }(\phi )\sin \phi +r(\phi )\cos \phi .$

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке $(r,r(\phi ))$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{r^{\prime }(\phi )\sin \phi +r(\phi )\cos \phi }{r^{\prime }(\phi )\cos \phi -r(\phi )\sin \phi }.$

Интегральное исчисление

Область $R$, которая образована полярной кривой $r(\phi )$ и лучами $\phi =a$ и $\phi =b$

Пусть $R$ — область, которая ограничена кривой, заданной в полярных координатах как $r(\phi )$ и двумя лучами определяемыми как $\phi =a$ и $\phi =b,$ где $0<b-a<2\pi$. Тогда площадь этой области равна определённому интегралу:

$\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}[r(\phi ){]}^{2}d\phi .$

Область $R$ образована из $n$ секторов (на рисунке для простоты показано 5 секторов

Этот результат получен следующим образом. Разобьём интервал $[a,b]$ на произвольное число равных подынтервалов $n$. Тогда длина каждого подынтервала $\mathrm{\Delta }\phi$ равна $b-a$ (полная длина интервала) делённая на $n$ (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала $i=1,2,\dots ,n$ ${\phi }_i$ — значение функкции в некоторой точке интервала. Построив секторы с центром в полюсе, радиусами $r({\phi }_i)$, центральными углами $\mathrm{\Delta }\phi$ и длиной дуги $r({\phi }_i)\mathrm{\Delta }\phi$. Площадь каждого такого сектора будет $\frac{1}{2}r({\phi }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\phi$. Отсюда, полная площадь всех секторов приближённо равна искомой площади фигуры:

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}r({\phi }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\phi .$

Если число подынтервалов $n$ увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться и в пределе при $n\to \mathrm{\infty }$, полученная сумма станет интегралом равным точной площади фигуры:

$\underset{\mathrm{\Delta }\phi \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}r({\phi }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\phi =\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}[r(\phi ){]}^{2}d\phi .$

Обобщение

В декартовых координатах площадь бесконечно малого элемента некоторой фигуры равна $dA=dxdy$. При переходе к другой системе координат в кратных интегралах вычисления площади необходимо использовать определитель Якоби:

$J=\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|.$

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен $r$:

$J=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|=r{\cos }^2\phi +r{\sin }^2\phi =r.$

Следовательно, площадь бесконечно малого элемента в полярных координатах можно записать так:

$dA=Jdrd\phi =rdrd\phi .$

Функция для площади, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

$\underset{R}{\iint }f(r,\phi )dA=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{r(\phi )}{\int }}f(r,\phi )rdrd\phi .$

Здесь фигура $R$, как и в предыдущем описании нахождения площади такая же, которую образуют полярная кривая $r(\phi )$ и два луча $\phi =a$ и $\phi =b$.

Формула для вычисления площади, приведённая в предыдущем описании, получена для случая $f=1$.

Частным результатом применения формулы преобразования элемента площади в разных системах координат для кратных интегралов является интеграл Эйлера — Пуассона:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Векторный анализ

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле $𝐅$ на двумерном пространстве (плоскости) можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

${𝐞}_r=(\cos \phi ,\sin \phi )$

в направлении $𝐫$, и

${𝐞}_{\phi }=(-\sin \phi ,\cos \phi );$

$𝐅=F_r{𝐞}_r+F_{\phi }{𝐞}_{\phi }.$

Связь между декартовыми компонентами поля $F_x$ и $F_y$ и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

$F_x=F_r\cos \phi -F_{\phi }\sin \phi ;$

$F_y=F_r\sin \phi +F_{\phi }\cos \phi .$

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля $\mathrm{\Phi }(r,\phi )$ записывается:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \phi }{𝐞}_{\phi }.$

Всё это работает за исключением одной особой точки — полюса, для которой $\phi$ не определено, и векторный базис, описанный выше, построить таким образом в данной точке нельзя. Это надо иметь в виду, хотя на практике векторные поля, исследуемые с помощью полярных координат, часто или сами имеют особенность в этой точке, или равны в ней нулю, что несколько облегчает дело. Кроме того, использование полярных координат никак не затрудняет выражение произвольного векторного поля сколь угодно близко к этой точке.

Трёхмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты

Точка $P$ начертана в цилиндрической системе координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как $z$, образуя тройку координат $(\rho ,\phi ,z)$.

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \phi ;\\ y=\rho \sin \phi ;\\ z=z.\end{array}$

Сферические координаты

Точка начертана в сферической системе координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты $\theta$, равным углу поворота от вертикальной оси $z$ (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка $(r,\phi ,\theta )$, где $r$ — расстояние от центра координат, $\phi$ — угол от оси $x$ (как и в плоских полярных координатах), $\theta$ — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта $\delta$ является дополнением $\theta$ и равна $\delta =90^{\circ }-\theta$, а долгота $l$ вычисляется по формуле $l=\phi -180^{\circ }$.

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ;\\ y=r\sin \theta \sin \phi ;\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай $n$-мерного пространства. Пусть $x_i\in ℝ$, $i=1,\dots ,n$ — координатные векторы $n$-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в $n$-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора $x\in {ℝ}^n$ от координатной оси $x_{i+2}$.

Для перевода обобщённых $n$-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

$\begin{array}{ccc}{x}_1& =& r\cos \phi \sin {\vartheta }_1\sin {\vartheta }_2\dots \sin {\vartheta }_{n-3}\sin {\vartheta }_{n-2};\\ x_2& =& r\sin \phi \sin {\vartheta }_1\sin {\vartheta }_2\dots \sin {\vartheta }_{n-3}\sin {\vartheta }_{n-2};\\ x_3& =& r\cos {\vartheta }_1\sin {\vartheta }_2\dots \sin {\vartheta }_{n-3}\sin {\vartheta }_{n-2};\\ x_4& =& r\cos {\vartheta }_2\dots \sin {\vartheta }_{n-3}\sin {\vartheta }_{n-2};\\ \dots & \dots & \dots \\ x_{n-1}& =& r\cos {\vartheta }_{n-3}\sin {\vartheta }_{n-2};\\ x_n& =& r\cos {\vartheta }_{n-2}.\end{array}$

Как можно показать, случай $n=2$ соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а $n=3$ — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

$\det \frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (r,\phi ,{\vartheta }_1,\dots ,{\vartheta }_{n-2})}=r^{n-1}\sin {\vartheta }_1(\sin {\vartheta }_2{)}^2\dots (\sin {\vartheta }_{n-2}{)}^{n-2}$,

где $n$-мерный элемент объёма имеет вид:

$dV=r^{n-1}\sin {\vartheta }_1(\sin {\vartheta }_2{)}^2\dots (\sin {\vartheta }_{n-2}{)}^{n-2}drd\phi d{\vartheta }_1\dots d{\vartheta }_{n-2}=$

$=r^{n-1}drd\phi \prod _{j=1}^{n-2}(\sin {\vartheta }_j{)}^{j}d{\vartheta }_j.$

Применение

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физические системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Поводом создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу, впоследствии оказалось, что она крайне удобна иногда и для исследования некругового движения (см. Кеплерова задача).

Позиционирование и навигация

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро).

Применение в физике

Cечение комптоновского рассеяния от угла рассеяния (для разной энергии фотона)

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, и вообще центральные силы. Также существенное удобство полярные координаты предоставляют при работе с системами, имеющими точечные (или приближенно точечные) источники энергии, такие как радиоантенны — при исследовании их излучения на сравнительно больших расстояниях от антенны, распространение звука или света — в особенности (но не обязательно) сферически- или цилиндрически-симметричное. В определённых задачах, в том числе из числа упомянутых выше, использование сферических или цилиндрических координат (являющихся для этих задач естественными) по сути сводится к использованию просто двумерных полярных координат.

Полярные координаты как для вычислений, так и для наглядного изображения их результатов, бывают достаточно полезны не только в случаях, когда симметрия задачи близка в целом к осевой или сферической, но и в случаях, когда симметрия явно далека от таковой, например, для вычисления поля диполя. В этом случае применение полярных координат имеет мотивировку в малом размере источника поля (заряды диполя расположены очень близко друг к другу), к тому же поле каждого такого заряда просто выражается в полярных координатах, особенно если поместить полюс в один из этих зарядов (поле второго будет отличаться, кроме знака, лишь на малую поправку).

В квантовой механике и химии полярные координаты (наряду со сферическими для более сложных случаев) используются для изображения угловой зависимости волновой функции электрона в атоме, в том числе в целях качественного анализа и наглядности при преподавании.

Применение в прикладных целях, диаграммы направленности

Диаграмма направленности (азимутальная) типичной направленной антенны

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических координатах при шести частотах

В разных прикладных областях, полярные координаты применяются как способами, близкими к применяемым в соответствующих областям фундаментальной физики, так и самостоятельным образом.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность. В случае излучателя, имеющего строгую осевую симметрию или слабо от неё отклоняющегося, достаточно использовать не сферические, а обычные (двумерные) полярные координаты, так как во всех плоскостях, проходящих через ось симметрии, зависимость будет одинаковой или почти одинаковой. Если такой симметрии нет, то какое-то представление о звуковом потоке в разных направлениях может дать пара (для каждой частоты) полярных диаграмм в перпендикулярных плоскостях, для эллиптического или прямоугольного излучателя — связанного с его главными осями.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности при падении звуковой волны под углом относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности.

В принципе, полярные диаграммы могут использоваться для представления практически любых зависимостей. Но на практике обычно этот вид представления выбирается в случаях, когда речь идет от зависимости от реального геометрического направления (см. например Роза ветров, Диаграмма рассеяния, зависимость отраженного светового потока от угла в фотометрии, диаграмма направленности антенн, светодиодов и других светоизлучателей, фотодатчиков, акустических систем итп). Также довольно нередко можно встретиться с применением полярных координат в случаях, когда одна из переменных имеет циклический характер (в полярных координатах её довольно естественно представлять углом).

Могут применяться и областях, не связанных прямо с физикой (хотя иногда можно проследить более или менее прямую аналогию в этом плане), например, можно использовать полярные диаграммы, аналогичные розе ветров, например, для изучения направлений миграций животных. Такое использование достаточно удобно и наглядно.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Ссылки

• Шаблон:Dmoz