Якобиан

Шаблон:К объединению Шаблон:Другое значение Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначается $\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{c}{\mathrm{\backslash nolimits}}_{x}f$, иногда также следующим образом:

$\frac{D(f_1,\dots ,f_n)}{D(x_1,\dots ,x_n)}$ ,или $\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}$

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

Определение

Якобиан векторной функции $𝐮:{ℝ}^n\to {ℝ}^n,𝐮=(u_1,\dots ,u_n),u_i=u_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,n$, имеющей в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка, определяется как

$\det \left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_1}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\ \frac{\partial u_2}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_2}{\partial x_n}(x)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial u_n}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_n}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_n}{\partial x_n}(x)\end{array}\right).$

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций $u_1,\dots ,u_n$.

Геометрическая интерпретация

Если функции ${\tilde{x}}_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,{\tilde{x}}_n(x_1,\dots ,x_n)$ определяют преобразование координат $x_i\to {\tilde{x}}_j$, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов параллелепипедов, «натянутых» на $d{\tilde{x}}_1,d{\tilde{x}}_2,\dots ,d{\tilde{x}}_n$ и на $d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n$ при равенстве произведений $d{\tilde{x}}_{1}d{\tilde{x}}_2\dots d{\tilde{x}}_n=d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$.

Применение

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат ${\tilde{x}}_j\to x_i$ преобразуется как

  $\underset{\tilde{\mathrm{\Omega }}}{\int }f({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\dots ,{\tilde{x}}_n)d{\tilde{x}}_{1}d{\tilde{x}}_2\dots d{\tilde{x}}_n=$

  $=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f({\tilde{x}}_1(x_1,x_2,\dots ,x_n),{\tilde{x}}_2(x_1,x_2,\dots ,x_n),\dots ,{\tilde{x}}_n(x_1,x_2,\dots ,x_n))\left|\frac{D({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\dots ,{\tilde{x}}_n)}{D(x_1,x_2,\dots ,x_n)}\right|d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры

Пример 1. Переход элементарной площади $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi .$

Матрица Якоби имеет следующий вид

$\hat{I}(r,\phi )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right].$

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

$J(r,\phi )=\det \hat{I}(r,\phi )=\det \left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right]=r.$

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y=J(r,\phi )\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi$

Пример 2. Переход элементарного объёма $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

$x=r\sin \theta \cos \phi$

$y=r\sin \theta \sin \phi$

$z=r\cos \theta .$

Матрица Якоби имеет следующий вид

$\hat{I}(r,\theta ,\phi )=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial \phi }\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial \phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right].$

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

$J(r,\theta ,\phi )=\det \hat{I}(r,\theta ,\phi )=\det \left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right]=r^2\sin \theta .$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=J(r,\theta ,\phi )\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

Свойства

• Абсолютное значение якобиана в некоторой точке $x$ равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки $x$ к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке $x$ положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если якобиан отображения не обращается в нуль в области $\mathrm{\Delta }$, то отображение $\mathrm{\Delta }$ является локальным диффеоморфизмом.

См. также

Применение в физике

• Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов