Единичный вектор

Пример двух единичных векторов в двумерном пространстве.

Единичный вектор, или орт, — вектор нормированного пространства, длина которого равна единице. Единичные вектора используются, в частности, для задания направлений в пространстве. Множество единичных векторов образует единичную сферу.

Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с крышкой: $\widehat{𝐯}$.

Единичный вектор $\widehat{𝐯}$ (нормированный вектор), коллинеарный с заданным $𝐯$ , определяется по формуле

$\widehat{𝐯}=\frac{\overrightarrow{𝐯}}{\Vert 𝐯\Vert }=\left(\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_x}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }},\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_y}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }},\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_z}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }}\right)$

где $\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }=\sqrt{{\overrightarrow{𝐯}}_x+{\overrightarrow{𝐯}}_y+{\overrightarrow{𝐯}}_z}$ - есть длина (скалярная величина) вектора $\overrightarrow{𝐯}$.

Стоит также отметить, что компоненты (координаты) единичного вектора $\widehat{𝐯}$ являются углами:

• $\cos \alpha =\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_x}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }}$

• $\cos \beta =\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_y}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }}$
• $\cos \gamma =\frac{{\overrightarrow{𝐯}}_z}{\mathbf{\Vert }𝐯\mathbf{\Vert }}$

В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными.

Другие системы координат

Декартова система координат

Единичные векторы могут представлять собой оси в Декартовой системе координат. К примеру, стандартные единичные векторы в направлениях $x,y$, и $z$ в трёхмерном пространстве являются:

$\widehat{𝐢}\mathbf{=}\left[\begin{array}{c}\mathrm{𝟏}\\ \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}\end{array}\right],\widehat{𝐣}\mathbf{=}\left[\begin{array}{c}\mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟏}\\ \mathrm{𝟎}\end{array}\right],\widehat{𝐤}\mathbf{=}\left[\begin{array}{c}\mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟏}\end{array}\right]$

Эти векторы являются взаимно ортогональными и такой базис называют ортонормированным базисом, или стандартным базисом в линейной алгебре.

Для обозначения единичных векторов также используеться и другая нотация, к примеру $(\widehat{𝐱},\widehat{𝐲},\widehat{𝐳})$, $({\widehat{𝐱}}_1,{\widehat{𝐱}}_2,{\widehat{𝐱}}_3)$, $({\widehat{𝐞}}_x,{\widehat{𝐞}}_y,{\widehat{𝐞}}_z)$, или $({\widehat{𝐞}}_1,{\widehat{𝐞}}_2,{\widehat{𝐞}}_3)$.

Общие обозначения

Общая нотация единичных векторов встречается в физике и геометрии.

Единичный вектор	Нотация	Диаграмма
Вектор касательной	$\widehat{𝐭}$	Образование вектора нормали $\widehat{𝐧}$ к плоскости при помощи радиального вектора $r\widehat{𝐫}$, а также углового компонента поворота $\theta \hat{\mathit{\theta }}$ необходимо для того чтобы векторные уравнения углового движения выполнялись.
Вектор нормали к поверхности/плоскости содержащей радиальный компонент и угловой компонент	$\widehat{𝐧}=\widehat{𝐫}\times \hat{\mathit{\theta }}$
Бинормальный вектор к касательной и нормали	$\widehat{𝐛}=\widehat{𝐭}\times \widehat{𝐧}$
Единичный вектор коллинеарен к оси/линии	${\widehat{𝐞}}_{\parallel }$	Единичный вектор ${\widehat{𝐞}}_{\parallel }$ выровнен параллельно в неком направлении (голубая линия), и ортогональный единичный вектор ${\widehat{𝐞}}_{\mathrm{\perp }}$.
Единичный вектор ортогонален к оси/линии	${\widehat{𝐞}}_{\mathrm{\perp }}$
Единичный вектор отклонен на некий угол относительно оси/линии	${\widehat{𝐞}}_{\mathrm{\angle }}$	Единичный вектор ${\widehat{𝐞}}_{\mathrm{\angle }}$отклонен на угол φ (от 0 до $\pi$/2 радиан) относительно оси/линии.

См. также

• Единичный отрезок
• Прямоугольная система координат
• Полярная система координат