Элемент длины

Элемент длины $dl$

Элеме́нт длины́Шаблон:Sfn (Шаблон:Lang-en) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, точнее — интегрального исчисления, элемент интегрирования, главная линейная часть приращения длины кривой, то есть малый отрезок касательной к кривой в рассматриваемой точке. Синонимы: дифференциал длины дугиШаблон:Sfn, дифференциал дугиШаблон:SfnШаблон:Sfn, элемент дугиШаблон:Sfn, линейный элементШаблон:Sfn.

Обозначается $dl$ илиШаблон:Sfn $ds$. При вычислении циркуляции векторного поля представляется в векторной форме как

$d\overrightarrow{l}=dl\cdot {\overrightarrow{e}}_t$,

где ${\overrightarrow{e}}_t$ — единичный вектор вдоль касательнойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Математическая запись элемента длины зависит от типа системы координат и вида рассматриваемой кривой. В случае декартовой системы элемент длины плоской кривой может выражаться формулойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

$dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx$.

Её правомерность видна из геометрических рассуждений. Пусть аргумент есть абсцисса $x$. Элемент длины $dl$ отвечает длине части $MP$ касательной к Шаблон:Iw от Шаблон:Iw $M$ до пересечения $P$ с приращённой ординатой (см. рис.)Шаблон:Sfn. Дифференциал $dx$ равен $MQ$, дифференциал $dy=QP$, и по теореме Пифагора для $dl=MP$ получается выписанное выражениеШаблон:Sfn. По сути, формула приравнивает приращение касательной к дуге $dl$ к главной части приращения длины дуги $\mathrm{\Delta }l=\stackrel{⌣}{MN}$Шаблон:Sfn.

Квадрат элемента длины, выраженный через координаты пространства, называется метрической формой пространстваШаблон:Sfn.

Длина $L$ плоской или пространственной дуги $\stackrel{⌣}{AB}$ в любом пространстве находится как криволинейный интеграл первого родаШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$L=\underset{(A)}{\overset{(B)}{\int }}1dl$.

Элемент длины используется при вычислении криволинейных интегралов. Определённым интегралом с интегральным элементом длины можно выразить целый ряд геометрических и физических величин, например, длину кривой (с подынтегральной функцией 1), площадь или объём (со скалярной подынтегральной функцией), циркуляцию физического вектора по некоему контуру (с векторной подынтегральной функцией)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аналоги элемента длины больших размерностей — элемент площади и элемент объёма, которые принципиально отличаются от элемента длины тем, что не являются приращениями соответствующих величин — площади и объёмаШаблон:Sfn.

Элемент длины в декартовых координатах

Двумерный (плоский) случай

Рассмотрим на плоскости параметрически заданную кривую $L$, определяемую в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

$x=\phi (t),$ $y=\psi (t),$

причём у функций $\phi (t)$ и $\psi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$. В силу формулы вычисления длины отрезка кривой длина $l(t)$ переменной дуги задаётся следующей формулойШаблон:Sfn:

$l(t)=\underset{\alpha }{\overset{t}{\int }}\sqrt{\phi {\text{'}}^2(\tau )+\psi {\text{'}}^2(\tau )}d\tau .$

В этой формуле подынтегральная функция непрерывна, следовательно,

$l^{\prime }(t)=\sqrt{\phi {\text{'}}^2(t)+\psi {\text{'}}^2(t)}$

по свойству интеграла с верхним переменным пределом. Обе части этого равенства возведём в квадрат и потом умножим на $d{t}^2$, получим:

$(l^{\prime }(t)dt{)}^2=({\phi }^{\prime }(t)dt{)}^2+({\psi }^{\prime }(t)dt{)}^2,$

откуда по причине того, что

$l^{\prime }(t)dt=dl,$ ${\phi }^{\prime }(t)dt=dx,$ ${\psi }^{\prime }(t)dt=dy,$

окончательно получаем квадрат элемента длиныШаблон:Sfn:

$d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2.$

Если в качестве параметра уравнений кривой взять длину $l$ переменной дуги (естественная параметризация), то есть положить

$x=g(l),$ $y=h(l),$

то тогда имеет место следующее равенствоШаблон:Sfn:

${\left(\frac{dx}{dl}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dl}\right)}^2=1.$

Общий трёхмерный случай

Обобщая полученные результаты на трёхмерное пространство, получаем, что для параметрически заданной пространственной кривой $L$, определяемой в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

$x=\phi (t),$ $y=\psi (t),$ $z=\chi (t),$

причём у функций $\phi (t)$, $\psi (t)$ и $\chi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$, верна следующая формула для квадрата элемента длиныШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2.$

Из этой формулы следует, что если в качестве параметра уравнений пространственной кривой взять длину $l$ переменной дуги, то есть положить

$x=g(l),$ $y=h(l),$ $z=k(l),$

то тогда имеет место следующее равенствоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

${\left(\frac{dx}{dl}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dl}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dl}\right)}^2=1.$

Элемент длины в криволинейных координатах

Плоский случай, полярные координаты

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулойШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}.$

Элемент длины $dl$ в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть даны некоторая дуга и произвольная точка $M$ на ней (см. рис.). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат $O$) радиуса $OM=\rho$. Рассмотрим криволинейный треугольник $MKN$, образованный дугой окружности $\stackrel{⌣}{MK}=\rho \mathrm{\Delta }\phi$, отрезком $KN=\mathrm{\Delta }\rho$ и частью $\stackrel{⌣}{MN}=\mathrm{\Delta }l$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине $K$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга $\stackrel{⌣}{MN}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

$\stackrel{⌣}{MN}\approx \sqrt{K{N}^2+\stackrel{⌣}{KM}{}^2}$,

то есть в других обозначениях

$\mathrm{\Delta }l\approx \sqrt{\mathrm{\Delta }{\rho }^2+{\rho }^2\mathrm{\Delta }{\phi }^2}\approx \sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги $l$ в полярной системе координатШаблон:Sfn.

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

$dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярныеШаблон:Sfn:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi .$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

$dx=d(\rho \cos \phi )=\cos \phi d\rho -\rho \sin \phi d\phi$,

$dy=d(\rho \sin \phi )=\sin \phi d\rho +\rho \cos \phi d\phi$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получимШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{(\cos \phi d\rho -\rho \sin \phi d\phi {)}^2+(\sin \phi d\rho +\rho \cos \phi d\phi {)}^2}=$

$=\sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}$.

Цилиндрическая и сферическая системы

Запись трёхмерного элемента длины в цилиндрических и сферических координатах представлена в таблице. Цилиндрическая запись при $z=0$ и сферическая при $\theta =\pi /2$ превращаются в выражение для случая полярной системыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Система координат	Пере­менные	Квадрат элемента длины	Коэффициенты Ламе
Декартова	$x,y,z$	$d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$	$L_x=L_y=L_z=1$
Цилиндрическая	$\rho ,\phi ,z$	$d{l}^2=d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2+d{z}^2$	$L_{\rho }=L_z=1,$ $L_{\phi }=\rho$
Сферическая	$\rho ,\theta ,\phi$	$d{l}^2=d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2+{\rho }^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$	$L_{\rho }=1,$ $L_{\theta }=\rho ,$ $L_{\phi }=\rho \sin \theta$

Некоторые несложные примеры расчёта

Для кривой $y=x^2$ имеем

$dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\sqrt{1+{|dy/dx|}^2}dx=\sqrt{1+4x^2}dx=\sqrt{1+4y}dx$,

${\overrightarrow{e}}_l=\frac{dx}{dl}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{dy}{dl}{\overrightarrow{e}}_y=\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}dx}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{dy}{\sqrt{1+4y}dx}{\overrightarrow{e}}_y=\frac{{\overrightarrow{e}}_x}{\sqrt{1+4x^2}}+\frac{2x{\overrightarrow{e}}_y}{\sqrt{1+4y}}$.

Ещё пример: для исходящего из начала координат луча ($\theta ={\theta }_0=$ const, $\phi ={\phi }_0=$ const) будет

$dl=d\rho =\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}=|\cos {\theta }_0{|}^{-1}dz$,

${\overrightarrow{e}}_l={\overrightarrow{e}}_{\rho }=\sin {\theta }_0\cos {\phi }_0{\overrightarrow{e}}_x+\sin {\theta }_0\sin {\phi }_0{\overrightarrow{e}}_y+\cos {\theta }_0{\overrightarrow{e}}_z$.

И ещё: элемент длины арки циклоиды

$x=a(t-\sin t),$ $y=a(1-\cos t)$

равенШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=a\sqrt{2(1-\cos t)}dt=2a\sin \frac{t}{2}dt,$ $0⩽t⩽2\pi ,a>0.$

Элемент длины в римановых пространствах

В этом разделе представлены квадраты элемента длины, то есть метрические формы, в некоторых важнейших римановых пространствахШаблон:Sfn.

Евклидово $n$-мерное пространствоШаблон:Sfn:

$d{l}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+\dots +d{x}_n^2$.

Плоскость ЛобачевскогоШаблон:Sfn:

$d{l}^2=\frac{1}{k^2}\frac{(1-y^2)d{x}^2+2xydxdy+(1-x^2)d{y}^2}{(1-x^2-y^2{)}^2}$,

где $k<0$ — постоянная, которая называется кривизной пространства Лобачевского; $k^2(x^2+y^2)<1$Шаблон:Sfn.

Трёхмерное пространство ЛобачевскогоШаблон:Sfn:

$d{l}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{{[1+\frac{k}{4}(x^2+y^2+z^2)]}^2},$ $1+\frac{k}{4}(x^2+y^2+z^2)>0$.

Пространство МинковскогоШаблон:Sfn:

$d{l}^2=dt-\frac{1}{c^2}(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)$,

где $c$ ― скорость света, $t$ ― время события. В пространстве Минковского элемент длины может принимать мнимое значениеШаблон:Sfn.

Финслерово пространствоШаблон:Sfn:

$dl=f(x^1,\dots ,x^n;d{x}^1,\dots ,d{x}^n)$,

где $f(x^1,\dots ,x^n;d{x}^1,\dots ,d{x}^n)$ — произвольная положительно однородная функция относительно аргументов $d{x}^1,\dots ,d{x}^n$.

Элемент длины в произвольных координатах

Для элемента длины $dl$ выведем формулу в произвольных координатах, опираясь на формулу в декартовыхШаблон:Sfn и ради краткости ограничиваясь двумерной ситуацией (хотя рассуждения можно распространить на трёхмерную).

Пусть задана система координат $(u,v)$, определяемая уравнениями

$x=x(u,v),y=y(u,v),$

позволяющими по координатам $u$ и $v$ любой точки вычислить её декартовы координаты $x$ и $y$. ПримемШаблон:Sfn, что функции $x=x(u,v)$ и $y=y(u,v)$ непрерывно дифференцируемы и обратимы, а якобиан этих функций не равен нулю: $\det [D(x,y)/D(u,v)]\ne 0$.

Пусть, далее, дана некоторая кривая $u=u(t),$ $v=v(t),$ и пусть $dt$ — изменение параметра $t$, а $dl$ — элемент длины этой кривой, соответствующий $dt$. Тогда, подставив в уравнение

$d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2$

величины

$dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv,dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv$,

где $du=u^{\prime }(t)dt$, $dv=v^{\prime }(t)dt$, получимШаблон:Sfn:

$d{l}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$,

где $E={\frac{\partial x}{\partial u}}^2+{\frac{\partial y}{\partial u}}^2$, $F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}$, $G={\frac{\partial x}{\partial v}}^2+{\frac{\partial y}{\partial v}}^2$.

$E$, $F$ и $G$ суть величины, которые при выбранных координатах $(u,v)$ полностью задаются выписанными выше уравнениями в любой точке плоскости, причём независимо от выбора кривой, проходящей через эту точку. Напротив, оба дифференциала $du$ и $dv$ определяются толькоШаблон:Razr точки с координатами $u$ и $v$.

Другими словами, выражение для $d{l}^2$ есть квадратичная форма (метрическая форма) с аргументами $du$, $dv$ и коэффициентами $E$, $F$, $G$Шаблон:Sfn. Полученная формула выражает длину на евклидовой плоскости в произвольных координатах и как частный случай содержит прежнюю формулу для длины в декартовыхШаблон:Sfn.

Элемент длины в приложениях

Подынтегральная функция 1

Помимо чисто геометрических задач, понятие скалярного «элемента длины» широко применяется в физике при расчёте длины траектории частицы. Скажем, если траектория задана зависимостью радиус-вектора от времени $\overrightarrow{r}(t)=x(t){\overrightarrow{e}}_x+y(t){\overrightarrow{e}}_y+z(t){\overrightarrow{e}}_z$, то $dx=\dot{x}dt$ (и так же для других компонент) и

$L[t_0,\dots t]=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}dl=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{{\dot{x}}^2(\tau )+{\dot{y}}^2(\tau )+{\dot{z}}^2(\tau )}d\tau$,

где точка над символом означает производную по времени.

Элемент поверхности вращения

Элемент поверхности вращения

Пусть плоская дуга $\stackrel{⌣}{AB}$ вращается вокруг оси $OX$. Тогда в трёхмерном пространстве получается поверхность вращения, площадь которой равна следующему выражению (см. рис.):

$S=\underset{(A)}{\overset{(B)}{\int }}2\pi ydl$,

где $y$ — ордината меридиана $AB$, $dl=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ — элемент длины дуги меридиана, $2\pi ydl$ — элемент поверхности вращения, $(A)$ и $(B)$ — крайние значения параметра $t$, через которые выражены координаты $x=x(t)$, $y=y(t)$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Вычислим площадь поверхности вращения. Разделим поверхность вращения $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ на параллельные кольца, а каждое кольцо $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ заменим на боковую поверхность усечённого конуса, сохранив основания. Так как площади поверхностей этих усечённых конусов эквивалентны, то площадь кольца $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$

$S_{MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }}\approx \pi (PM+QN)MN$,

а поскольку

$PM+QN=2y+\mathrm{\Delta }y$,

$\stackrel{⌣}{MN}\approx MN=\mathrm{\Delta }l$

то

$S_{MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }}\approx \pi (2y+\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }l\approx 2\pi y\mathrm{\Delta }l$,

откуда и следует доказываемая формулаШаблон:Sfn:

$S=\underset{(A)}{\overset{(B)}{\int }}2\pi ydl$.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении арки циклоиды

$x=a(t-\sin t),$ $y=a(1-\cos t)$

вокруг её основания. Сразу получаемШаблон:Sfn:

$dl=2a\sin \frac{t}{2}dt,$ $0⩽t⩽2\pi ,$

$S=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}2\pi a(1-\cos t)\cdot 2a\sin \frac{t}{2}dt=$

$=8\pi a^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^3\frac{t}{2}dt=\frac{64}{3}\pi a^2.$

Сравним полученный результат с площадью осевого сечения, то есть с двойной площадью арки циклоиды $6\pi a^2$, получим, что площадь поверхности вращения превышает площадь сечения в $3\frac{5}{9}$ разаШаблон:Sfn.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении куска параболы

$x=t,$ $y=t^2,$ $0⩽x⩽1$

вокруг оси $x$. Сразу получаемШаблон:Sfn:

$dl=\sqrt{1+4t^2},$ $S=2\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^2\sqrt{1+4t^2}dt.$

Пример. Найдём площадь $S$ сферы радиуса $r$. Эту сферу можно задать вращением полуокружности

$y=\sqrt{r^2-x^2},$ $-r⩽x⩽r,$

вокруг оси абсцисс. Но такое явное задание окружности не непрерывно дифференцируемо, поскольку производная $y^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$ бесконечна при $x=\pm r$. Поэтому для удобства зададим окружность параметрическиШаблон:Sfn:

$x=r\cos t,$ $y=r\sin t,$ $0⩽t⩽\pi .$

Тогда получаемШаблон:Sfn:

$x^{\prime }=-r\sin t,$ $y^{\prime }=r\cos t,$

$dl=r,$ $S=2\pi r^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin tdt=4\pi r^2.$

Пример. Найдём площадь $S$ катеноида, то есть поверхности, которая получается при вращении дуги цепной линии

$x=t,$ $y=a\mathrm{ch}\frac{t}{a},$ $-b⩽t⩽b$

вокруг оси абсцисс. Сразу получаемШаблон:Sfn:

$x^{\prime }=1,$ $y^{\prime }=\mathrm{sh}\frac{t}{a},$

$dl=\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\frac{t}{a}},$ $S=2\pi a\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\mathrm{ch}\frac{t}{a}\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\frac{t}{a}}dt=$

$=2\pi a\underset{-b}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{ch}}^2\frac{t}{a}dt=\pi a\underset{-b}{\overset{b}{\int }}(1+\mathrm{ch}\frac{2t}{a})dt=\pi a(2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a}).$

Работа силы

Рассмотрим движение материальной точки $M$ по непрерывно дифференцируемой кривой $AB=\{r=r(l)\}$, где $l$ — переменная длина дуги, $0⩽l⩽L$, причём на точку $M$ в положении $r(l)$ действует сила $\overrightarrow{F}(l)$, направленная по касательной к траектории материальной точки в направлении движения и имеющая модуль $F(l)$. Тогда работа $W$ силы $\overrightarrow{F}(l)$ вдоль кривой $AB$ выражается следующей формулойШаблон:Sfn:

$W=\underset{0}{\overset{L}{\int }}F(l)dl$.

В случае, когда положение материальной точки на траектории её движения задаётся на основе другого параметра $t$ (например, времени), причём длина пройденного пути

$l=l(t),$ $a⩽t⩽b,$

непрерывно дифференцируема, то получаем следующую формулуШаблон:Sfn:

$W=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(l(t))l^{\prime }(t)dt$.

Статические моменты и центр тяжести кривой

Определения

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$, имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскостиШаблон:Sfn.

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),0⩽l⩽L\}$, где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\mathrm{\Delta }l$ равна $\mathrm{\Delta }m=\rho \mathrm{\Delta }l$, где $\rho$ — некоторая постояннаяШаблон:Sfn.

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho =\frac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }l}$, где дуга длиной $\mathrm{\Delta }l$ имеет массу $\mathrm{\Delta }m$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дугиШаблон:Sfn.

Однородная кривая — кривая с линейной плотностьюШаблон:Sfn.

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$, то есть дуга длиной $\mathrm{\Delta }l$ имеет массу $\mathrm{\Delta }l$, в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$Шаблон:Sfn.

Момент кривой относительно оси — момент $M_x$ ($M_y$) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ($Oy$) равен следующей величинеШаблон:Sfn:

$M_x=\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl$ $(M_y=\underset{0}{\overset{L}{\int }}xdl)$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_0,y_0)$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же осиШаблон:Sfn.

По определению получаем, что

$x_{0}L=M_y,$ $y_{0}L=M_x,$

то есть имеем следующие формулыШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}xdl,$ $y_0=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl.$

Теорема Гульдина

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривойШаблон:Sfn.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

$y_{0}L=\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$S=\underset{0}{\overset{L}{\int }}2\pi ydl$,

имеем интересное соотношение

$S=2\pi y_{0}L$,

которое и доказывает теоремуШаблон:Sfn.

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривойШаблон:Sfn.

Примеры

Площадь поверхности вращения окружности

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

$S=(x-a{)}^{+}{y}^2=r^2,$ $0<r<a,$

не пересекающей ось $Oy$, вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеемШаблон:Sfn:

$S=2\pi a\cdot 2\pi r=4{\pi }^{2}ar$,

Центр тяжести цепной линии

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулойШаблон:Sfn:

$y=a\mathrm{ch}\frac{x}{a},$ $-b⩽x⩽b.$

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$, поэтому момент

$M_y=0$,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$, и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

$M_y=\underset{-L}{\overset{L}{\int }}x(l)dl=0$,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2L{x}_0=M_y$, то получаем первую координату центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=0$.

Рассмотрим выражение для следующего момента

$M_x=\underset{-L}{\overset{L}{\int }}ydl$,

причём

$2\pi M_x=2\pi y_{0}L=S_x$,

где $S_x$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$, то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_x=\pi a(2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a})$, следовательно, получаем следующее уравнениеШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{a}{2}(2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a})$.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

$2L=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}dl=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx=$

$=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\frac{x}{a}}dx=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\mathrm{ch}\frac{x}{a}=a\mathrm{sh}\frac{x}{a}{|}_{-b}^b=2a\mathrm{sh}\frac{b}{a}$,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжестиШаблон:Sfn:

$y_0=\frac{M_x}{2L}=\frac{2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a}}{4\mathrm{sh}\frac{b}{a}}$.

Векторный элемент. Циркуляция

Шаблон:Обзорная статья Рассмотрим в области $\mathrm{\Omega }$ трёхмерного пространства векторное поле, которое задано вектор-функцией $\overrightarrow{a}(M)$, где $M\in \mathrm{\Omega }$ — переменная точка. Циркуляцию векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой $AB\subset \mathrm{\Omega }$ можно записать в виде криволинейного интеграла от скалярного произведения векторов

$\underset{AB}{\int }\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}_{t}dl=\underset{AB}{\int }\overrightarrow{a}d\overrightarrow{l},$ $\frac{d\overrightarrow{l}}{dl}={\overrightarrow{e}}_t,$

где ${\overrightarrow{e}}_t$ — единичный вектор касательной к кривой $AB$ (и к дуге $\stackrel{⌣}{AM}$) в точке $M$, $l$ — длина части кривой $AB$ (дуги $\stackrel{⌣}{AM}$), отсчитываемая от точки $A$ до переменной точки $M\in AB$, $dl$ и $d\overrightarrow{l}$ — соответственно скалярный и векторный элементы длины части кривой $AB$ (дуги $\stackrel{⌣}{AM}$)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В координатной форме, то есть в трёхмерной декартовой системе координат, получаемШаблон:Sfn:

$\underset{AB}{\int }\overrightarrow{a}d\overrightarrow{l}=\underset{AB}{\int }Xdx+Ydy+Zdz$.

Элемент циркуляции — векторное произведение $\overrightarrow{a}d\overrightarrow{l}=Xdx+Ydy+Zdz$Шаблон:Sfn.

Если вектор-функцию $\overrightarrow{a}(M)$ интерпретировать как физическое силовое поле, то рассмотренная циркуляция такого векторного поля $\overrightarrow{a}(M)$ вдоль кривой $AB$ есть механическая работа силы поля вдоль пути $AB$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

В электродинамике такие интегралы с $d\overrightarrow{l}$ встречаются при вычислении циркуляций векторов напряжённости электрического и магнитного полей

$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l},\oint \overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{l}$

по замкнутому контуру, фигурирующих, в частности, в двух из четырёх уравнений Максвелла.

Элемент длины в приложениях при dl = dx (dy = 0)

Элемент объёма поперечных сечений

Элемент объёма поперечных сечений

Пусть имеется произвольное тело, причём даны все площади $F(x)$ его сечений, которые параллельны плоскости $R$, проходящей через начало координат и перпендикулярной оси $OX$ (см. рис.). Тогда объём этого тела равен следующему выражению:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)dx$,

где $x$ — расстояние от сечения $F(x)$ до плоскости $R$, $dx$ — элемент оси $OX$, $F(x)dx$ — элемент объёма поперечных сечений, $a$ и $b$ — крайние значения координаты $x$Шаблон:Sfn.

Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Определения

Статические моменты плоской фигуры

Пусть дана некоторая плоская фигура $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой $AB$ с явным уравнением неотрицательной функции $y=f(x)$, и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью $\rho$. Без умаления общности положим $\rho =1$, то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигурыШаблон:Sfn.

Вычислим статические моменты $M_x$ и $M_y$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) $ydx$. Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести $(x+\frac{1}{2}dx,\frac{1}{2}y)=(x,\frac{1}{2}y)$, поскольку $\frac{1}{2}dx\cdot ydx$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моментыШаблон:Sfn:

$d{M}_x=\frac{1}{2}{y}^{2}dx,$ $d{M}_y=xydx.$

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

$M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx,$ $M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$

где $y=f(x)$Шаблон:Sfn.

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат $x_0$ и $y_0$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть $S$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

$S{x}_0=M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$ $S{y}_0=M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx,$

откуда получаем следующие координаты центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y=\frac{1}{S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x=\frac{1}{2S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx.$

Теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигурыШаблон:Sfn.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

$2y_{0}S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx$

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi y^{2}dx$,

имеем интересное соотношение

$V=2\pi y_{0}S$,

которое и доказывает теоремуШаблон:Sfn.

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

$y_1=f_1(x),$ $y_2=f_2(x),$

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментовШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2^2-y_1^2)dx,$ $M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(y_2-y_1)dx.$

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидныШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y=\frac{1}{S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(y_2-y_1)dx,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x=\frac{1}{2S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2^2-y_1^2)dx.$

Поскольку площадь такой фигуры есть

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2-y_1)dx$,

то вторая теорема Гульдина верна и здесьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Найдём оба статических момента $M_x$ и $M_y$, а также обе координаты $x_0$ и $y_0$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой $y^2=2px$, снизу осью $x$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе $x$. Исходя из уравнения параболы $y=\sqrt{2px}$ и формул

$S{x}_0=M_y=\underset{0}{\overset{x}{\int }}xydx,$ $S{y}_0=M_x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{y}^{2}dx,$

получаем следующие выражения для статистических моментовШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}2pxdx=\frac{1}{2}p{x}^2=\frac{1}{4}{y}^{2}x,$

$M_y=\underset{0}{\overset{x}{\int }}x\sqrt{2px}dx=\frac{2}{5}\sqrt{2p}{x}^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}y{x}^2.$

Вычислим площадь криволинейной трапецииШаблон:Sfn:

$S=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{2px}dx=\frac{2}{3}\sqrt{2p}{x}^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}yx.$

Теперь по формулам

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x$

находим следующие выражения для координат центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{3}{5}x,$ $y_0=\frac{3}{8}\sqrt{2px}=\frac{3}{8}y.$

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигурыШаблон:Sfn:

$V=2\pi (x-\frac{3}{5}x)S=\frac{8}{15}\pi x^{2}y.$

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

Найдём координаты $x_0$ и $y_0$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

$x=a(t-\sin t),$ $y=a(1-\cos t)$

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

$S=3\pi a^2,$ $V=5{\pi }^2{a}^3,$

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаемШаблон:Sfn:

$x_0=\pi a,$ $y_0=\frac{5}{6}a.$

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H