Теоремы Паппа — Гульдина

Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)Шаблон:Sfn.

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линииШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигурыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой $l$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой $l$.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через $n$, сами точки через $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, массу каждой точки через $m$, а расстояния точек от прямой $l$ через $r_1$, $r_2$, …, $r_n$.

Для $n=1$, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для $n-1$ точки. Тогда их центр тяжести $P$ находится на расстоянии

$r=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}}{n-1}$.

Заменим систему материальных точек $M_1$, $M_2$, …, $M_{n-1}$ точкой $P$, сосредоточив в ней массу, равную $(n-1)m$. Остаётся найти центр тяжести $O$ двух материальных точек $P$ и $M_n$. Так как точка $P$ имеет массу $(n-1)m$, а точка $M_n$ — массу $m$, то

$PO:O{M}_n=1:(n-1)$.

Следовательно, если $r^{*}$ — расстояние от точки $O$ до прямой (рис. 1), то

$(r-r^{*}):(r^{*}-r_n)=1:(n-1)$,

откуда

$r^{*}=\frac{(n-1)r+r_n}{n}=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}{n}$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является $n$-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$. Середины звеньев ломаной обозначим через $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, а расстояния от этих точек до прямой $l$ — через $r_1$, $r_2$, …, $r_n$. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой $l$ получается поверхность , состоящая из $n$ частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

$S=m\cdot 2\pi r_1+m\cdot 2\pi r_2+\dots +m\cdot 2\pi r_n$.

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна $P=mn$, можно переписать выражение для площади

$S=P\cdot 2\pi R$,

где

$R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}$,

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, в каждой из которых сосредоточена масса $m$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию $K$, при вращении которой при вращении вокруг оси $l$ получается поверхность $Q$. Впишем в неё ломаную $L$, содержащую $m$ звеньев. При вращении $L$ вокруг оси $l$ получим поверхность $T$, площадь которой равна $S=P\cdot 2\pi R$, где $P$ — длина ломаной $L$, а $R$ — расстояние от центра тяжести ломаной $L$ до оси вращения $l$.

Если считать $m\to 0$, то длина ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$, площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $Q$, центр тяжести ломаной $L$ будет стремиться к центру тяжести кривой $K$. Так как для любого $m$ соотношение $S=P\cdot 2\pi R$ справедливо для $L$, то переходя к пределу $m\to 0$, найдем, что оно справедливо и для кривой $K$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга