Кусочно-гладкая функция

Кусочно-гладкая функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение

Пусть заданы $x_1<x_2<\dots <x_n$ — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-гладкую функцию можно записывать на каждом из интервалов $(-\mathrm{\infty };x_1),(x_1;x_2);\dots (x_n;+\mathrm{\infty })$ отдельной формулой:

$f(x)=\{\begin{array}{c}{f}_0(x),x<x_1\\ f_1(x),x_1<x<x_2\\ \cdots \\ f_n(x),x_n<x\end{array}$

Здесь $f_i(x)$ — гладкие функции.

Если к тому же выполнены условия согласования

$f_{i-1}(x_i)=f_i(x_i)=f(x_i)$ при $i=1,2,\dots ,n$,

то кусочно-гладкая функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-гладкая функция может служить сплайном.