Секционная кривизна

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

Определение

Секционная кривизна — это функция $K(\sigma )$, которая зависит от секционного направления $\sigma$ в точке $p$ (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в $p$). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке $p$.

Свойства

• Если $v,u$ — два линейно независимых вектора в $\sigma$, то

  $K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v{|}^2,$ где $K(u,v)=⟨R(u,v)v,u⟩,$

а $R(u,v)$ обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    $K(\sigma )=\frac{⟨R(u,v)v,u⟩}{⟨u,u⟩⟨v,v⟩-⟨u,v{⟩}^2}.$

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  $6\cdot ⟨R(u,v)w,z⟩=$

  $[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-$

  $[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)].$

  • более простой форме, используя частные производные:

    $⟨R(u,v)w,z⟩=\frac{1}{6}\cdot {\frac{{\partial }^2}{\partial s\partial t}(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz))|}_{(s,t)=(0,0)}.$

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.