Теорема сравнения Топоногова

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти. Однако его работа оставалась незамеченной целый век. Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.

Вводные определения

Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$.

Обозначим через ${𝕄}_{\kappa }$ модельную плоскость кривизны $\kappa$. При $\kappa =0$ это евклидова плоскость, при $\kappa >0$, ${𝕄}_{\kappa }$ изометрично поверхности сферы радиуса $\frac{1}{\sqrt{\kappa }}$ и при $\kappa <0$, ${𝕄}_{\kappa }$ есть плоскость Лобачевского кривизны $\kappa$.

Треугольником в $M$ называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть $\mathrm{△}$ есть треугольник в $M$. Предположим в ${𝕄}_{\kappa }$ существует треугольник ${\widetilde{\mathrm{△}}}_{\kappa }$, с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник ${\widetilde{\mathrm{△}}}_{\kappa }$ является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник ${\widetilde{\mathrm{△}}}_{\kappa }$ называется модельным треугольником треугольника $\mathrm{△}$ в $M$.

Заметим, что модельный треугольник ${\widetilde{\mathrm{△}}}_{\kappa }$ всегда определён в случае если $\kappa ⩽0$. В случае если $\kappa >0$, это верно если периметр $\mathrm{△}$ строго меньше $2\cdot \pi /\sqrt{\kappa }$.

Пусть $\mathrm{△}\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}$ в ${𝕄}_{\kappa }$ есть модельный треугольник $\mathrm{△}xyz$ в $M$. Определим модельный угол ${\tilde{\measuredangle }}_{\kappa }xyz$ как угловую меру $\measuredangle \tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}$.

Формулировка

Теорема. Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$. Тогда углы любого треугольника $\mathrm{△}$ в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника ${\widetilde{\mathrm{△}}}_{\kappa }$. Иначе говоря

${\tilde{\measuredangle }}_{\kappa }xyz⩽\measuredangle xyz$

для любого треугольника $\mathrm{△}xyz$.

Следствия

• Предположим $M$ — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки $p\in M$, функция $f(x)=|p-x{|}_M^2$ является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической $\gamma$ функция $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^2$ является вогнутой.

Вариации и обобщения

• Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии $M$ то $M$ имеет кривизну хотя бы $\kappa$.

• Для каждой точки $x$ на стороне треугольника $\mathrm{△}$, обозначим через $\tilde{x}$ соответственную точку на стороне $\widetilde{\mathrm{△}}\kappa$. Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  $|\tilde{x}-\tilde{y}{|}_{{𝕄}_{\kappa }}⩽|x-y{|}_M$

где $|x-y{|}_M$ обозначает расстояние между точками $x$ и $y$ в римановом многообразии $M$.

• Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  ${\tilde{\measuredangle }}_{\kappa }xpy+{\tilde{\measuredangle }}_{\kappa }ypz+{\tilde{\measuredangle }}_{\kappa }zpx⩽2\cdot \pi$

для произвольной четвёрки точек $p,x,y,z\in M$

• Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.
  • Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.

См. также

• Теорема сравнения Рауха

Литература

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Шаблон:Книга