Теорема сравнения Рауха

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом.

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка

Пусть $M$ и $\tilde{M}$ суть римановы многообразия. Пусть $\gamma :[0,T]\to M$ и $\tilde{\gamma }:[0,T]\to \tilde{M}$ суть геодезические с единичной скоростью, такие, что $\tilde{\gamma }(0)$ не имеет сопряженных точек вдоль $\tilde{\gamma }$, и пусть $J,\tilde{J}$ — нормальные поля Якоби вдоль $\gamma$ и $\tilde{\gamma }$, такие, что $J(0)=\tilde{J}(0)=0$ и $|J^{\prime }(0)|=|{\tilde{J}}^{\prime }(0)|$. Предположим, что секционные кривизны $M$ и $\tilde{M}$ всюду удовлетворяют $K(\mathrm{\Pi })⩽\tilde{K}(\tilde{\mathrm{\Pi }})$, где $\mathrm{\Pi }\subset T_{\gamma (t)}M$ — это 2-плоскость, содержащая $\dot{\gamma }(t)$, а $\tilde{\mathrm{\Pi }}\subset T_{\tilde{\gamma }(t)}\tilde{M}$ — 2-плоскость, содержащая $\dot{\tilde{\gamma }}(t)$. Тогда $|J(t)|⩾|\tilde{J}(t)|$ для всех $t\in [0,T]$.

Следствия

Пусть $M$ — риманово многообразие, и геодезическая $\gamma :[0,T]\to M$ не имеет сопряжённых точек, тогда:

• Если $M$ имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби $J$ такого, что $J(0)=0$, имеем

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |t|.$

• Если секционная кривизна $M$ не меньше 1, то

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |\sin t|.$

• Если секционная кривизна $M$ не больше −1, то

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |\mathrm{sh}t|.$

См. также

• Теорема сравнения Топоногова
• Теорема сравнения Штурма

Ссылки

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Шаблон:Книга