Поле Якоби

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической $\gamma$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Пусть ${\gamma }_{\tau }$ есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с ${\gamma }_0=\gamma$, тогда поле

$J(t)={\frac{\partial {\gamma }_{\tau }(t)}{\partial \tau }|}_{\tau =0}$

называется полем Якоби.

Свойства

• Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:

  $J^{″}(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

где $J^{″}(t)=\frac{D^2}{d{t}^2}J$ есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита, $R$ — тензор кривизны, и $T(t)=d\gamma (t)/dt$ — касательный вектор к $\gamma$.

• На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических ${\gamma }_{\tau }$, связанное с этим полем в соответствии с определением.

• Уравнение Якоби — линейное  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
  • В частности,  $J$ и $\frac{D}{dt}J$ в какой-либо точке $\gamma$ однозначно определяют поле Якоби.
  • Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.

• Любое поле Якоби $J$ можно представить единственным образом в виде суммы $T+I$, где $T=a\dot{\gamma }(t)+bt\dot{\gamma }(t)$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и $I(t)$ ортогонально $\dot{\gamma }(t)$ при всех $t$.
  • При этом поле $I$ соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.

• Для любых двух полей Якоби $I(t)$ и $J(t)$ величина

  $⟨I^{\prime }(t),J(t)⟩-⟨I(t),J^{\prime }(t)⟩$

не зависит от $t$.

Пример

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические ${\gamma }_0$ и ${\gamma }_{\tau }$ с естественной параметризацией $t\in [0,\pi ]$, разделенные углом $\tau$. Геодезическое расстояние $d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))$ равно

$d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))=\arcsin (\sin t\sin \tau \sqrt{1+{\cos }^{2}t{\mathrm{tg}}^2(\tau /2)}).$

Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:

$d({\gamma }_0(\pi ),{\gamma }_{\tau }(\pi ))=0$ для любого $\tau$.

Вместо этого мы можем рассмотреть производные по $\tau$ при $\tau =0$:

$\frac{\partial }{\partial \tau }{|}_{\tau =0}d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.$

Мы вновь получаем пересечение геодезических при $t=\pi$. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать $d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))$; все, что нужно сделать, это решить уравнение

$y^{″}+y=0$,

для некоторых заданных начальных условий.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Решение уравнения Якоби

Пусть $e_1(0)=\dot{\gamma }(0)/|\dot{\gamma }(0)|$; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис $\{e_i(0)\}$ в $T_{\gamma (0)}M$. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис $\{e_i(t)\}$ в любой точке $\gamma$. Это даёт ортонормированный базис с $e_1(t)=\dot{\gamma }(t)/|\dot{\gamma }(t)|$. Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: $J(t)=y^k(t)e_k(t)$, откуда:

$\frac{D}{dt}J=\sum _k\frac{d{y}^k}{dt}{e}_k(t),\frac{D^2}{d{t}^2}J=\sum _k\frac{d^2{y}^k}{d{t}^2}{e}_k(t),$

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

$\frac{d^2{y}^k}{d{t}^2}+|\dot{\gamma }{|}^2\sum _j{y}^j(t)⟨R(e_j(t),e_1(t))e_1(t),e_k(t)⟩=0$

для каждого $k$. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех $t$ и являются единственными, если заданы $y^k(0)$ и $\frac{d{y}^k}{dt}(0)$ для всех $k$.

Примеры

Рассмотрим геодезическую $\gamma (t)$ с параллельным ортонормированным репером $e_i(t)$, $e_1(t)=\dot{\gamma }(t)/|\dot{\gamma }|$, построенным, как описано выше.

• Векторные поля вдоль $\gamma$, заданные $\dot{\gamma }(t)$ и $t\dot{\gamma }(t)$, являются полями Якоби.
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны)  поля Якоби это — это те поля, что линейны по $t$.
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны $-k^2$ любое поле Якоби является линейной комбинацией $\dot{\gamma }(t)$, $t\dot{\gamma }(t)$ и $\exp (\pm kt)e_i(t)$, где $i>1$.
• Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны $k^2$ любое поле Якоби является линейной комбинацией $\dot{\gamma }(t)$, $t\dot{\gamma }(t)$, $\sin (kt)e_i(t)$ и $\cos (kt)e_i(t)$, где $i>1$.
• Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
• Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике $TM$, индуцированной метрикой на $M$).

См. также

• Сопряжённые точки
• Теорема сравнения Рауха
• Уравнение Риккати

Литература

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Шаблон:Книга