Линейное дифференциальное уравнение

L y = f

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция $y = y (t)$ , а правая часть $f = f (t)$ — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

L_{n} (y) \equiv \frac{d^{n} y}{d t^{n}} + A_{1} (t) \frac{d^{n - 1} y}{d t^{n - 1}} + \dots + A_{n - 1} (t) \frac{d y}{d t} + A_{n} (t) y

При этом, если $f (t) \equiv 0$ , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

p_{n} (x) y^{(n)} (x) + p_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} (x) + \dots + p_{0} (x) y (x) = r (x)

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

x^{n} y^{(n)} (x) + a_{n - 1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} (x) + \dots + a_{0} y (x) = 0

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид:

y^{'} (x) + f (x) y (x) = g (x)

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель:

e^{\int f (x) d x}

Уравнение запишется как:

$y^{'} (x) e^{\int f (x) d x} + f (x) y (x) e^{\int f (x) d x} = g (x) e^{\int f (x) d x},$

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

(y (x) e^{\int f (x) d x}) = g (x) e^{\int f (x) d x}

Шаблон:ВрезкаЧто, после интегрирования обеих частей, приводит к

y (x) e^{\int f (x) d x} = \int g (x) e^{\int f (x) d x} d x + C,

y (x) = \frac{\int g (x) e^{\int f (x) d x} d x + C}{e^{\int f (x) d x}} .

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

y^{'} (x) + f (x) y (x) = g (x),

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

y (x) = e^{- \int f (x) d x} (\int g (x) e^{\int f (x) d x} d x + C)

где $C$ является константой интегрирования.

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

\frac{d y}{d x} + b y = 1 .

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер Шаблон:Термин системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

y (x) = e^{- b x} (e^{b x} / b + C) = 1 / b + C e^{- b x} .