Дифференциальное уравнение

Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса

Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путём решения уравнения теплопроводности

График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $f^{\prime }\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.

Терминология и классификация

Шаблон:Vanchor Так, например, уравнение ${\left(y^{″}\right)}^4+y^{\prime }+y^6+x^7=0$ является уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка $n$ называется функция $y\left(x\right)$, имеющая на некотором интервале $(a,b)$ производные $y^{\prime }\left(x\right),y^{″}\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ до порядка $n$ включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции $y\left(x\right)$ удается привести к квадратуре (то есть к виду $y=\int f\left(x\right)dx$, где $f\left(x\right)$ — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

История

Исаак Ньютон

Готфрид Лейбниц

Леонард Эйлер

Жозеф-Луи Лагранж

Пьер-Симон Лаплас

Жозеф Лиувилль

Анри Пуанкаре

Софья Ковалевская

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в Шаблон:Math-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Шаблон:Main Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

$F(x,y,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n)})=0$ или $F(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2},...,\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n})=0,$

где $y=y(x)$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной $x,$ штрих означает дифференцирование по $x.$ Число $n$ называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Шаблон:Main Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Данные ДУ имеют вид:

$\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array},$

где функции $P(t,x)$ и $Q(t,x)$ определены и непрерывны в некоторой области $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}_{t,x}^2$.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:$F(x_1,x_2,\dots ,x_m,z,\frac{\partial z}{\partial x_1},\frac{\partial z}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_m},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1\partial x_2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_2^2},\dots ,\frac{{\partial }^{n}z}{\partial x_m^n})=0,$

где $x_1,x_2,\dots ,x_m$ — независимые переменные, а $z=z(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Шаблон:Main Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения Шаблон:Math-го порядка:

$p_n(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_0(x)y(x)=r(x),$

где Шаблон:Math — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция Шаблон:Math в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: Шаблон:Math. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\omega }^2\sin y=0$ в случае малых амплитуд, когда Шаблон:Math, может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\omega }^{2}y=0$

Примеры

• $y^{″}+9y=0$ — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций $y=(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
• Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(x,t),$ где Шаблон:Math — масса тела, Шаблон:Math — его координата, Шаблон:Math — сила, действующая на тело с координатой Шаблон:Math в момент времени Шаблон:Math. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
• Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: $x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=0.$ Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
• Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: $\frac{du}{dx}=u^2+1.$

В следующей группе примеров неизвестная функция Шаблон:Math зависит от двух переменных Шаблон:Math и Шаблон:Math или Шаблон:Math и Шаблон:Math.

• Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

$\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=0.$

• Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если $u=u(x,t)$ — отклонение струны в точке с координатой Шаблон:Math в момент времени Шаблон:Math, а параметр Шаблон:Math задаёт свойства струны:

$\frac{\partial {}^{2}u}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}.$

• Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0.$

• Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

$\frac{\partial u}{\partial t}=6u\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}.$

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Уравнения в полных дифференциалах
• Второй закон Ньютона (классическая механика)
• Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
• Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Уравнения в частных производных

• Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
• Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
• Волновое уравнение
• Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Пуассона
• Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
• Уравнение Шрёдингера (квантовая механика)
• Уравнение диффузии
• Уравнение теплопроводности (термодинамика)
• Уравнение Кортевега-де Вриза (уединённые волны)
• Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
• Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
• Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
• Уравнения Лямэ (теория упругости)

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
• Особое решение
• Задача Коши
• Однородное дифференциальное уравнение
• Неоднородное дифференциальное уравнение
• Линейное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
• Уравнение Риккати
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Квазидифференциальное уравнение
• Дробно-дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальные уравнения
• Поле направлений

Программное обеспечение

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y, y)
• Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Литература

Энциклопедии и справочники

• Шаблон:БСЭ3
• Шаблон:Публикация
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
• Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
• Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Учебники

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
• Диесперов В. Н. Лекции по дифференциальным уравнениям [текст]: учеб. пос. — М.: МФТИ, 2017. 242 с. ISBN 978-5-7417-0630-5.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
• Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. — Мн.: Вышейшая школа, 1973.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
• Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
• Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (pdf) (на портале автора)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Задачники

• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978.
• Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Ссылки

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
• Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
• Примеры решения дифференциальных уравнений
• Эксперсс-курс по дифференциальным уравнениям: пособие и видео-лекции Р. В. Шамина
• Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка — учебный фильм, производство Леннаучфильм.